CASO X
SUMAO DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
156. Aplicando el Teorema del Residuo(102), probamos que:
I. an – bn es divisible por a - b siendo n par o impar.
II. an + bn es divisible por a + b siendo n impar.
III. an – bn es divisible por a + b cuando n es par.
IV. an + bn nunca es divisible por a-b.
Y vimos el modo de hallar el cociente cuando la división era exacta.
157. FACTORAR UNA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES.
Ejemplos
(1) .Factorar m5+ n5
Dividiendo entre m + n (96, 4º.) los signos del cociente son alternativamente + y -:
= m4 - m 3n + m2n2 – mn3 + n4
Luego m5+ n5= (m + n)( m4 - m 3n + m2n2 – mn3 + n4). R
(2) .Factorar x5 +32.
Esta expresión puede escribirse x 5+ 25. Dividiendo por x + 2, tenemos:
= x4 - x3 (2)+ x2 (2)2-x(2)3 +24
O sea = x4 - 2x3 + 4x2 -8x +16
Luego x 5+ 25= (x +2)(x4 - 2x3 + 4x2 -8x +16). R.
(3) Factorar a5 – b5.
Dividiendo por a - b (96, 4º.) los signos del cociente son todos +:
= a4 + a3b + a2b2 + ab3 +b4
Luego a5 – b5=(a – b)( a4 + a3b + a2b2 + ab3 +b4 ). R.
(4) Factorar x7 -1.
Esta expresión equivale a x7 -17. Dividiendo entre x -1, se tiene:
= x6 + x5 (1)+ x4 (12)+ x3 (13)+ x2 (14) + x (15) + 16
O sea = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
Luego x7 -1=(x-1)( x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1). R.
NOTA
Expresiones que corresponden al caso anterior xn + yn o xn - yn en que n es impar y múltiplo de 3, como, x3 – y3 ,x9 + y9, x 9- y9 ,x15 + y15, x15 - y15, pueden descomponerse por el método anteriormente expuesto o como suma o diferencia de cubos. Generalmente es más expedito esto último. Las expresiones de la forma xn - yn en que n es par, como x4 – y4, x6 – y6, x8 – y8 son divisibles por x + y o x - y, y pueden descomponerse por el metodo anterior, pero mucho más fácil es factorarlas como diferencia de cuadrados.
