Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas y discriminante:
y relación de la forma de la factorización con el valor de la discriminante:
Hay una relación estrecha entre la forma de la factorización de una ecuación cuadrática para su resolución y el valor de la discriminante en la fórmula general para resolución de ecuaciones cuadráticas.
La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es la siguiente:
Donde la discriminante es el valor que se encuentra dentro del radical:
y de este valor depende el número de soluciones; si la discriminante es positiva, se suma y se resta el valor de la raíz de la discriminante, lo que genera dos soluciones; si la discriminante es cero, sólo se tiene una solución, ya que no se suma ni resta nada; y por último, si el valor de la discriminante es negativo, no es posible sacar la raíz (entiéndase por sacar la raíz en los reales, sí se puede sacar la raíz en números imaginarios, pero para las gráficas en ejes reales esto no es de interés).
Cuando se quiere resolver una ecuación cuadrática por factorización existen tres posibilidades (dos factores diferentes,dos factores iguales o repetitivos, no poderse factorizar), las cuales dan tres valores (positivo, cero o negativo) para la discriminante. Estos valores de la discriminante son característicos para tener dos, una o ninguna solución de una ecuación cuadrática.
Pensando en las intersecciones con el eje"x" de una función cuadrática, es evidente que, puede tener dos, una o ninguna intersección, lo cual se debe a las características de la ecuación que se forma al igualar "y" a cero.
Date cuenta de la interrelación del álgebra con las gráficas, más tarde te también verás, que el número de máximos, mínimos, etc. tienen que ver con la estructura algebraica de la primera y la segunda derivada.
Función
Factorización
Solución por fórmula
Raíz con la Discriminante
Solución
Conclusiones sobre las intersecciones
0= (x-3)(x+2)
Aquí se generan dos soluciones:
Int "x" en x=3 y x = -2 ó
(3,0) y (-2,0)
La discriminante fue positiva, por lo tanto genró dos soluciones.
0=-(x-3)(x-3)
A la hora de sumar y restar el valor de la raíz de la discriminante se tiene un solo valor, por lo tanto este es repetitivo: x = 3
Int"x" en x = 3
ó (3 , 0)
La discriminante es cero, por lo tanto sólo tenemos una solución a la ecuación cuadrática, esto implica una factorización con factores repetitivos.
No se puede factorizar
No tiene solución en los números reales.
La discriminante fue negativa, por lo tanto no hay soluciones reales, y la función no tiene intersecciones con el eje "x".
Además, si la discriminante es negativa tenemos la certeza, de que la expresión cuadrática realmente no se podía factorizar.
Observaciones
¡Cuidado! El hecho de que nosotros no podamos factorizar una expresión cuadrática, no quiere decir, que no sea factorizable. Estamos muy acostumbrados, que las factorizaciones sean en números enteros y de baja denominación. Una factorización puede ser con números fraccionarios, decimales y/o irracionales.
