Descubre respuestas a tus preguntas en Revelroom.ca, la plataforma de Q&A más confiable y eficiente para todas tus necesidades. Obtén respuestas rápidas a tus preguntas de una red de profesionales experimentados en nuestra plataforma de preguntas y respuestas. Encuentra soluciones detalladas a tus preguntas con la ayuda de una amplia gama de expertos en nuestra amigable plataforma de preguntas y respuestas.

cual es el teorema de moivre

Sagot :

Hola

Para cualquier complejo, tenemos

z = x + i y

Si pasamos a coordenadas polares

z = r cos(a) + i r sen(a) 
ó
z = r (cos(a) + i sen(a))

donde
r: distancia al origen (positiva ó nula)
a: ángulo medido en sentido antihorario desde el eje x positivo (entre 0 y 2 pi rad)

El teorema de De-Moivre nos indica que

(cos(u) + i sen(u) )^n = cos(n*u) + i sen(n*u)

Supongamos que la raíz de 
z^2 - 8 = 0 (incógnita compleja)
esté en su forma polar

z = r (cos(a) + i sen(a))

Entonces

z^2 = r^2 (cos(a) + i sen(a))^2

Por De-Moivre

z^2 = r^2 (cos(2a) + i sen(2a))
ó
z^2 = r^2 cos(2a) + i r^2 sen(2a)

Según la ecuación original

z^2 = 8

es decir

r^2 cos(2a) + i r^2 sen(2a) = 8

Igualamos la parte real e imaginaria

1) r^2 cos(2a) = 8

2) r^2 sen(2a) = 0

El número r sólo se anula para el complejo z = 0

Eso significa que deducimos de 2)

sen(2a) = 0

Esto se da para

2a = 0
2a = 180°
2a = 360°
2a = 540°
2a = 720°
etc.

Obsérvese que consideramos hasta 720° porque tenemos ángulo doble
y la mitad de 720° nos da 360°

Deducimos posibles valores de a
a = 0°
a = 90°
a = 180°
a = 270°
a = 360°
etc..

Ahora, remplazamos en la ecuación 1) 
y debemos tener resultados válidos para r (número positivo, nulo sólo para z=0)

1) r^2 cos(2a) = 0

a = 0°
r^2 cos(0°) = 8 ---> r^2 = 8 ---> r = √8
a = 90°
r^2 cos(180°) = 8 ---> -r^2 = 8-->r^2 = -8 ---->Valor de a NO VALIDO
a = 180°
r^2 cos(360°) = 8 ---> r^2 = 8 ---> r = √8
a = 270°
r^2 cos(540°) = 8 ---> -r^2 = 8-->r^2 = -8 ---->Valor de a NO VALIDO
a = 360°
r^2 cos(720°) = 8 ---> r^2 = 8 ---> r = √8
etc..

Los únicos valores válidos son

a = 0°
a = 180°
a = 360°
etc.

Los complejos solución son

z1 = √8 (cos(0°) + i sen(0°)) = √8(1 + i 0) = +√8

z2 = √8 (cos(180°) + i sen(180°)) = √8 (-1 + i0) = -√8

z3 = √8 (cos(360°) + i sen(360°)) = √8(1 + i 0) = +√8 = z1
======================================…

Observamos que sólo tenemos 2 valores reales +√8 y -√8,
la misma solución que en el caso de la solución real de
x^2 - 8 = 0
**************************************…

P.S.

En general, no se usa el teorema de De-Moivre,
si no que se usa la exponencial compleja para polares,
que satisface el teorema de De-Moivre

z = r (cos(a) + i sen(a)) = r e^(i * a)

Aquí "a" , como exponencial compleja, se mide exclusivamente en radianes

Saludos

Gracias por visitar. Nuestro objetivo es proporcionar las respuestas más precisas para todas tus necesidades informativas. Vuelve pronto. Esperamos que nuestras respuestas te hayan sido útiles. Vuelve cuando quieras para obtener más información y respuestas a otras preguntas que tengas. Tu conocimiento es valioso. Regresa a Revelroom.ca para obtener más respuestas e información.