Llamaremos:
D : Diagonal Mayor
d : diagonal menor
L : Lado del rombo
Al trazar las diagonales vemos que quedan determinados 4 triángulos rectángulos iguales en los que:
cateto menor = d/2
Cateto Mayor = D/2
hipotenusa = L
De modo que aplicando Pitágoras tendremos:
L² = (D/2)² + (d/2)² → L² = (D² + d²) / 4 →
D² + d² - 4L² = 0 ... (1)
____________________
Por otra parte, sabemos que el área "A" de un rombo se calcula como:
A = ½ . D . d
De donde:
d = (2A)/D ... (2)
____________________
De (2) en (1) tendremos: D² + [(2A)/D]² - 4L² = 0 →
D² + [(4A²)/D²] - 4L² = 0 → D⁴ + (4A²) - 4L².D² = 0 →
D⁴ - (4L²).D² + (4A²) = 0 ... (3)
____________________
(3) es una ecuación cuadrática en términos de "D²" que podemos resolver aplicando la resolvente, es decir:
[-b ± √(b² - 4.a.c)] / (2.a)
obteniendo:
D² = 2L² ± 2.√(L⁴ - A²) ... (4)
Los valores que intervienen en (4), o sea: "L" y "A" son los datos de nuestro problema, por lo que obtendremos dos valores para "D²": con el signo "+" tendremos el cuadrado de la diagonal mayor (D²) y con el signo "-" tendremos el cuadrado de la diagonal menor (d²). Es decir:
D² = 2L² + 2.√(L⁴ - A²)
d² = 2L² - 2.√(L⁴ - A²)
____________________
Efectuando ambas cuentas y tomando las raices cuadradas resultarán:
D = 28,92
d = 21,44
