Tipos de funciones graficas
Tipos de gráficas
Gráfica creciente
Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente aumenta la otra variable.
Gráfica decreciente
Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente disminuye la otra variable.
Gráfica constante
Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la otra permanece invariable.
Una gráfica puede tener a la vez partes crecientes y decrecientes.
Tipos de funciones derivadas
Tema: La derivada como pendiente de una curva
Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.
La pendiente de la curva en el punto P es la pendiente de la recta tangente en P.
Definición: La pendiente de una curva
En (x,f(x)) la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en (x,f(x)) y queda determinada por la fórmula:
supuesto que el límite exista.
Para calcular la pendiente de la recta tangente a una curva mediante la definición de límite seguimos los siguientes pasos:
1) Calcular :
2) Hacer
para obtener
Ejemplo para discusión: Considera la gráfica de y = 3 - x2.
1) Halla la fórmula de la pendiente de la gráfica.
2) Indica cuál es la pendiente en los puntos (0,3) y (-2,-1).
3) Halla la ecuación de la recta tangente para cada uno de los puntos anteriores.
Nota: Algunas curvas puede que no tengan tangente en cada punto.
Definición: El límite
se llama derivada de f en x (supuesto que el límite existe) y se denota por f'(x).
La notación f'(x) se lee "f prima de x". También se usa mucho la notación:
que se lee " la derivada de y respecto a x".
Nota: Una función es derivable en x si existe su derivada en x.
Ejemplos para discusión: Halla la derivada de:
Nota: En cualquier punto donde la tangente es vertical, la pendiente es infinita; la derivada, por tanto, no existe.
Tema: Reglas de Derivación
Ya hemos calculado derivadas a través de la definición de la derivada como límite. Este procedimiento resulta en muchas ocasiones largo y tedioso.
Existen varias reglas que nos permiten calcular la derivada sin usar directamente los límites.
Regla de las constantes: La derivada de una función constante es cero. Esto es, si f(x) = c, para alguna constante c, entonces f'(x) = 0.
Ejemplos:
Regla de las potencias: Si f es una función diferenciable y f(x) = xn, entones
f'(x) = nxn-1, para cualquier número real n.
Ejemplos:
Tema: Reglas de derivación para productos y cocientes
Regla del producto: La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera. Esto es,
Ejemplos para discusión:
1) F(x) = (3x - 2x2)(5 + 4x)
2) G(x) = (1 + x-1)(x - 1)
Regla del cociente: La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador dividido todo por el cuadrado del denominador. Esto es,
donde g(x) es diferente de cero.
Ejemplos para discusión:
