Si se lanza algo verticalmente hacia arriba tendrá la misma rapidez cuando regrese al punto de lanzamiento que cuando se soltó.
Y si se desprecian los efectos del aire.... el tiempo del vuelo será el doble del tiempo de subida.
Demostración de que el tiempo de subida es igual al de bajada y por tanto el de vuelo es el doble de cualquiera de ambos.
En la subida, tenemos:
h(t) = h(0) + v (0)*t - 1/2*g*t^2
v(t) = v(0) + g*t
siendo:
h(t) la altura en el instate t
h(0) la altura inicial, que es 0
v(0) la velocidad inicial en vertical, es positiva porque va para arriba
g la aceleración de la gravedad, constante, es negativa porque va para abajo
t el tiempo
En la altura máxima, la velocidad vertical es cero, y por tanto si llamamos tsubida al tiempo que tarda en llegar a la la altura máxima, se cumple:
v(tsubida) = 0 = v(0) + g*tsubida=> v(0) = g*tsubida (fórmula 0)
Y sustituyendo en la fórmula de la altura, la altura máxima, hmax, será:
hmax = h(tsubida) = g*tsubida*tsubida - 1/2*g*tsubida^2 = g*tsubida^2 - 1/2*g*tsubida^2 =>
hmax = 1/2*g*tsubida^2 (formula 1)
Ahora, la bajada es una caida desde hmax que se inicia con velocidad igual a cero y aceleración constante igual a g. Se cumple por tanto
v(t) = - g*t
h(t) = hmax - 1/2*g*t^2
Si llamamos tbajada al tiempo que tarda en llegar abajo, en tbajada la altura será cero, es decir:
h(tbajada) = 0 = hmax - 1/2*g*tbajada^2.
Es decir, se cumple:
hmax = 1/2*g*tbajada^2 (fórmula 2)
Pero como hemos visto antes en fórmula 1, se cumple también:
hmax = 1/2*g*tsubida^2
Es decir:
hmax = 1/2*g*tsubida^2 = 1/2*g*tbajada^2e
Y simplificando:
tsubida = tbajada
O lo que es igual:
tvuelo = tsubida + tbajada = 2*tsubida = 2*tbajada (como queríamos demostrar)
Demostaración de que la rapidez al llegar abajo es igual que la inicial (misma velocidad pero de signo contrario):
Como hemos visto antes, la bajada es un movimiento uniformemente acelerado que se inicia en hmax, con velocidad 0 y aceleración g. Su velocidad en el tiempo cumple:
v(t) = - g*t
Y para t=tbajada
v(tbajada) = - g*tbajada
Y como hemos visto que tbajada = tsubida, tenemos:
v(tbajada) = - g*tsubida
Y por otra parte, vimos al principio en la fórmula 0 que v(0) = g*tsubida, es decir:
v(tbajada) = - g*tsubida = - v(0)
Es decir, la velocidad en el final de la caida es igual que al principio sólo que con signo contrario y por tanto la rapidez es igual en ambos casos como queríamos demostrar.
