Teorema de convergencia dominada de Lebesgue
Objetivos. Demostrar el teorema de convergencia dominada.
Requisitos. Integral de Lebesgue de funciones complejas, lema de Fatou, lmite inferior
y lmite superior de una sucesion.
1. Observacion. Recordamos que la convergencia puntual fn ! g no garantiza que
R
fn !
R
g (<recuerde algun contraejemplo!). El siguiente teorema dice que bajo cierta
condicion adicional la convergencia puntual implica la convergencia de integrales. A saber,
el teorema pide que las funciones fn sean dominadas por alguna funcion integrable.
2. Teorema de convergencia dominada de Lebesgue. Sea (X; F; ) un espacio con
medida, sea una (fn)n2N una sucesion en M(X; F; C) tal que:
(i) fn converge puntualmente a una funcion g : X ! C.
(ii) Existe una funcion h 2 L
1
(X; ; R+) tal que jfn(x)j h(x) para todo x 2 X.
Entonces
lim
n!1
Z
X
jfn gj d = 0 y lim
n!1
Z
X
fn d =
Z
X
g d:
Repaso de las herramientas necesarias para la demostracion
3. Lema de Fatou (repaso). Sea (X; F; ) un espacio con medida y sean (fn)n2N una
sucesion en M(X; F; R+). Entonces
Z
X
lim inf
n!1
fn
d lim inf
n!1
Z
X
fn d:
4. Dos propiedades elementales del lmite inferior (repaso). 1. Sea a 2 R y sea
(bn)n2N una sucesion de numeros reales. Entonces
lim inf
n!1
(a + bn) = a + lim inf
n!1
bn:
2. Sea (an)n2N una sucesion de numeros reales. Entonces
lim inf
n!1
(an) = lim sup
n!1
an:
5. Relacion entre el valor absoluto de una integral y la integral del valor
absoluto (repaso). Sea (X; F; ) un espacio con medida y sea f 2 L
1
(X; ; C). Entonces
Z
X
f d
Z
X
jfj d:
Teorema de convergencia dominada de Lebesgue, pagina 1 de 3
