juan0455
Answered

Obtén respuestas rápidas y precisas a tus preguntas en Revelroom.ca, la mejor plataforma de Q&A. Explora soluciones completas a tus preguntas con la ayuda de una amplia gama de profesionales en nuestra plataforma amigable. Descubre respuestas detalladas a tus preguntas gracias a una vasta red de profesionales en nuestra completa plataforma de preguntas y respuestas.

demostrar por definicion       lim x² = 4

                                                   x -> 2

Sagot :

mira en este link tenes paso a paso como podes aplicar para poder demostrar la definicion de limite

http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-formal.html

 

inclusive tenes un ejemplo para guiarte, espero que te sirva, salu2!!!!

 

 

hanner2007

por definición el limite de f(x) cuando x tiende a A es L si para cada Epsilon, existe un Delta  que cumple que |f(x)-L|<Epsilon cuando 0<|x-a|<Delta

 

entonces en nuestra caso

 

vamos a demostrar que para cada Epsilo existe un espectivo Delta tal que

si  0<|x-2|<Delta entonces |x^2 - 4|<Epsilon 

 

Primero vamos a buscar un delta apropiado para ello trabjamos con la conclusión

|(x+2)(x-2)|<Epsilon

 

|(x+2)||(x-2)|<Epsilon

 

bien aquí el lío es que aunque tenemos |(x-2)| lo tenemos multiplicado por un valor |(x+2)| variable que no sabemos si está acotado o no.

bien pero hagamos lo siguiente analicemos que pasa a |(x+2)| cuando delta <1

bien

cuando el delta es menor a 1 entonces  |(x-2)|<1  y entonces 1<x<3   y entonces a lo sumo

|(x+2)|<3+2 o sea |(x+2)|<5

bien entonces si el delta es menor que 1 entonces con certeza |(x+2)| sera menor que 5.

bien

entonces

|(x+2)||(x-2)|<

por definición el limite de f(x) cuando x tiende a A es L si para cada Epsilon, existe un Delta  que cumple que |f(x)-L|<Epsilon cuando 0<|x-a|<Delta

 

entonces en nuestra caso

 

vamos a demostrar que para cada Epsilo existe un espectivo Delta tal que

si  0<|x-2|<Delta entonces |x^2 - 4|<Epsilon 

 

Primero vamos a buscar un delta apropiado para ello trabjamos con la conclusión

|(x+2)(x-2)|<Epsilon

 

|(x+2)||(x-2)|<Epsilon

 

bien aquí el lío es que aunque tenemos |(x-2)| lo tenemos multiplicado por un valor |(x+2)| variable que no sabemos si está acotado o no.

bien pero hagamos lo siguiente analicemos que pasa a |(x+2)| cuando delta <1

bien

cuando el delta es menor a 1 entonces  |(x-2)|<1  y entonces 1<x<3   y entonces a lo sumo

|(x+2)|<3+2 o sea |(x+2)|<5

bien entonces si el delta es menor que 1 entonces con certeza |(x+2)| sera menor que 5.

bien

entonces

|(x+2)||(x-2)|<5|(x-2)|

y como suponemos |(x-2)|<delta entonces

|(x+2)||(x-2)|<5 delta 

entonces

5 delta<Epsilon

Delta <Epsilon/5  pero debe ser también menor o igual a 1

entonces escojamos delta como el minimo entre 1 y Epsilon/5

 

bien demostremos ahora sí>

dado que Epsilon>0 y sea delta el minimo entre 1 y Epsilon<5

si

0<|(x-2)|<Delta  entonces

|x^2 - 4|=|x+2||x-2|<5|x-2|    

pues su delta es menor que 1 ya lo demostramos y delta fue definido precissmente como el minimo entre 1 y epsilon/5 o sea que sera a lo sumo 1

y 5|x-2| <5*Epsilon/5  

porque si delta fuera Epsilon/5 eso se deduce de nuestra premisa |x-2| <delta=Epsilon/5

y si delta fuera 1 entonces eso significa que Epsilon/5 resultó mayor que 1 y |x-2|<1<Epsilon/5

así que en cualquier caso se cumple 5|x-2| <5*Epsilon/5  

o sea

5|x-2| <Epsilon

y puesto que 

|x+2||x-2|<5|x-2|

entonces

|x+2||x-2|<Epsilon

o  sea

|x^2 - 4|<Epsilon

 

con lo que queda demostrado que el límite de x^2 cuando x tiende a 2 es 4

 

 

 

Agradecemos tu visita. Nuestra plataforma siempre está aquí para ofrecer respuestas precisas y fiables. Vuelve cuando quieras. Gracias por pasar por aquí. Nos esforzamos por proporcionar las mejores respuestas para todas tus preguntas. Hasta la próxima. Revelroom.ca, tu fuente confiable de respuestas. No olvides regresar para obtener más información.