por definición el limite de f(x) cuando x tiende a A es L si para cada Epsilon, existe un Delta que cumple que |f(x)-L|<Epsilon cuando 0<|x-a|<Delta
entonces en nuestra caso
vamos a demostrar que para cada Epsilo existe un espectivo Delta tal que
si 0<|x-2|<Delta entonces |x^2 - 4|<Epsilon
Primero vamos a buscar un delta apropiado para ello trabjamos con la conclusión
|(x+2)(x-2)|<Epsilon
|(x+2)||(x-2)|<Epsilon
bien aquí el lío es que aunque tenemos |(x-2)| lo tenemos multiplicado por un valor |(x+2)| variable que no sabemos si está acotado o no.
bien pero hagamos lo siguiente analicemos que pasa a |(x+2)| cuando delta <1
bien
cuando el delta es menor a 1 entonces |(x-2)|<1 y entonces 1<x<3 y entonces a lo sumo
|(x+2)|<3+2 o sea |(x+2)|<5
bien entonces si el delta es menor que 1 entonces con certeza |(x+2)| sera menor que 5.
bien
entonces
|(x+2)||(x-2)|<
por definición el limite de f(x) cuando x tiende a A es L si para cada Epsilon, existe un Delta que cumple que |f(x)-L|<Epsilon cuando 0<|x-a|<Delta
entonces en nuestra caso
vamos a demostrar que para cada Epsilo existe un espectivo Delta tal que
si 0<|x-2|<Delta entonces |x^2 - 4|<Epsilon
Primero vamos a buscar un delta apropiado para ello trabjamos con la conclusión
|(x+2)(x-2)|<Epsilon
|(x+2)||(x-2)|<Epsilon
bien aquí el lío es que aunque tenemos |(x-2)| lo tenemos multiplicado por un valor |(x+2)| variable que no sabemos si está acotado o no.
bien pero hagamos lo siguiente analicemos que pasa a |(x+2)| cuando delta <1
bien
cuando el delta es menor a 1 entonces |(x-2)|<1 y entonces 1<x<3 y entonces a lo sumo
|(x+2)|<3+2 o sea |(x+2)|<5
bien entonces si el delta es menor que 1 entonces con certeza |(x+2)| sera menor que 5.
bien
entonces
|(x+2)||(x-2)|<5|(x-2)|
y como suponemos |(x-2)|<delta entonces
|(x+2)||(x-2)|<5 delta
entonces
5 delta<Epsilon
Delta <Epsilon/5 pero debe ser también menor o igual a 1
entonces escojamos delta como el minimo entre 1 y Epsilon/5
bien demostremos ahora sí>
dado que Epsilon>0 y sea delta el minimo entre 1 y Epsilon<5
si
0<|(x-2)|<Delta entonces
|x^2 - 4|=|x+2||x-2|<5|x-2|
pues su delta es menor que 1 ya lo demostramos y delta fue definido precissmente como el minimo entre 1 y epsilon/5 o sea que sera a lo sumo 1
y 5|x-2| <5*Epsilon/5
porque si delta fuera Epsilon/5 eso se deduce de nuestra premisa |x-2| <delta=Epsilon/5
y si delta fuera 1 entonces eso significa que Epsilon/5 resultó mayor que 1 y |x-2|<1<Epsilon/5
así que en cualquier caso se cumple 5|x-2| <5*Epsilon/5
o sea
5|x-2| <Epsilon
y puesto que
|x+2||x-2|<5|x-2|
entonces
|x+2||x-2|<Epsilon
o sea
|x^2 - 4|<Epsilon
con lo que queda demostrado que el límite de x^2 cuando x tiende a 2 es 4
