Te explico 1:
f(x)=x^2
primero>
calcular f(x + Δx) entonces es utilizar x+Δx en lugar de x:
f( (x+Δx) ) = (x+Δx)^2
entonces hay que desarrollar ese binomio al cuadrado, lo puedes hacer mutliplicando o si sabes usar el trinagulo de pascal o los productos notables entonces usandolos.
en este caso recuerda que (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 entonces en nuestro caso quedaría:
x^2 + 2xΔx + (Δx)^2
segundo>
restarle al anterior f(x) o sea en este caso restarle x^2 porque f(x)=x^2
entonces
f( (x+Δx) ) - f(x) = x^2 + 2xΔx + (Δx)^2 - x^2
el prtimer u utlimo termino son comunes y al restarlos se anulan entonces queda:
2xΔx + (Δx)^2
tercero>
dividir lo anterior por Δx
2xΔx (Δx)^2
----- + -----
Δx Δx
en el primero termino desaparece el Δx al simplificartse y en el segundo termino al restar exponentes queda un Δx arriba:
2x + Δx
cuarto>
evaluar el limite cuando Δx tiende a cero rteemplazando todo Δx por cero:
2x + 0 = 2x
listo la derivada de x^2 es 2x
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voy a hacer sólo otro más para que consolides la guía que te doy>
f(x)=x^3 - 2
primero>
f (x+Δx)= (x+Δx)^3 - 2
(x+Δx)^3 se expande así: x^3 + 3x^2Δx + 3x(Δx)^2 + (Δx)^3
(((esa expnasion la vas a poder usar en todos los ehjercicios que tengan x^3))))
listo entonces:
f (x+Δx)= (x+Δx)^3 - 2 = x^3 + 3x^2Δx + 3x(Δx)^2 + (Δx)^3 - 2
segundo>
restarle al anterior f(x) o sea restarle x^3-2
f (x+Δx)-f(x)= x^3 + 3x^2Δx + 3x(Δx)^2 + (Δx)^3 - 2 - (x^3 -2) = x^3 + 3x^2Δx + 3x(Δx)^2 + (Δx)^3 - 2 - x^3 +2
se eliminan x^3 y 2
entonces queda:
f (x+Δx)-f(x) = 3x^2Δx + 3x(Δx)^2 + (Δx)^3
terecero>
dividir lo anterior por Δx:
f (x+Δx)-f(x) 3x^2Δx 3x(Δx)^2 (Δx)^3
---------------- = ---------- + ---------- + ----------
Δx Δx Δx Δx
= 3x + 3x(Δx) + (Δx)^2
el evaluar e limite de lo anterior cuando Δx tiende a cero se reemlza cada Δx por cero y queda>
3x + 3x(0) + (0)^2 = 3x +0 + 0= 3x
entonces la derivada es 3x
