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Sagot :
Todo ángulo tiene una única medida y esta medida nos permite clasificarlos. Si se considera como unidad el grado, en el rango entre 0° y 180°, la clasificación usual es la siguiente:
Si es la medida de un ángulo, el ángulo es agudo sí y solo sí ; el ángulo es recto sí y solo sí ; es obtuso sí y solo sí y es llano sí y sólo si .
3.9.1. Ángulos Complementarios y Suplementarios
Algunas parejas de ángulos tienen propiedades especiales,
Definición 3.9.1. Si las medidas de dos ángulos son y , entonces los ángulos se dicen:
(a)Complementarios sí y solamente sí
(b)Suplementarios sí y solamente sí
Ejemplo 3.2. Sabiendo que la medida de cierto ángulo es un cuarto de la medida de su suplemento, determine . Si m es la medida del ángulo su suplemento tendrá medida . Teniendo en cuenta la relación:
Dependiendo de sus posiciones, los ángulos también tienen nombres especiales:
Definición 3.9.2. Dos ángulos no nulos y no llanos se dicen ángulos adyacentes sí y solo sí tienen un lado común.
( en la figura es interior al ángulo y los ángulos y son adyacentes.)
Partiendo de la definición podemos afirmar que en las figuras anteriores, no son adyacentes los ángulos y . Tampoco son adyacentes el y el ¿porqué?
nota Dos ángulos adyacentes se dicen pares lineales sí y solo sí sus lados no comunes están sobre rayos opuestos. Es claro que si dos ángulos forman un par lineal entonces son suplementarios.
Cuando dos rectas se intersectan determinan 4 ángulos. Cada par de ángulos no adyacentes, se dice opuesto por el vértice.
Definición 3.9.3. Dos ángulos no llanos se dicen opuestos por el vértice sí y solo si al unir sus lados se determinan dos rectas.
En la figura los ángulos 3 y 5 son opuestos por el vértice y cada uno de ellos forma un par lineal con el ángulo 6, pero entonces podemos afirmar que: y , entonces , de esto se concluye que y esto muestra un resultado importante: Si dos ángulos son opuestos por el vértice entonces tienen la misma medida.
Ejemplo 3.3. Determinar la medida de los ángulos 1, 2, 3 en la figura sabiendo que la medida de
Usando el resultado anterior para los ángulos opuestos por el vértice que , dado que y ángulo 1 forman un par lineal, ellos son suplementarios, por tanto . Como además los ángulos 1 y 3 son opuestos por el vértice entonces .
3.9.2. Ángulos Correspondientes
Consideremos los ángulos que se forman cuando dos rectas y , son cortadas por una tercera recta llamada una transversal. Se determinan 8 ángulos, cuatro para y la transversal y cuatro para y la transversal. Cualquier par de ángulos en posiciones similares con respecto a la transversal y a cada recta, son llamados ángulos correspondientes.
En la figura pares de ángulos correspondientes son: 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7 y 4 y 8.
ÁNGULOS COMPARATIVOS
Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados dan 90°.
Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 90°
Ángulos suplementarios: Son aquellos que sumados dan 180°.
Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 180°
Ángulos consecutivos o contigüos: Son aquellos que tienen un lado común.
Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen una lado en común y el otro lado sobre una misma recta. Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios.
Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando al prolongar los lados de un ángulo se forman los lados del otro ángulo.
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo:
Ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.
Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos externos: Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:
1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.
2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.
3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.
Ángulos entre paralelas
L1 / / L2
Propiedades que se obtienen son:
b=e ; a=f ; g=g ; d=h
Ángulos correspondientes
g=f ; d=e
Ángulos alternos internos
b=h ; a=g
Ángulos alternos externos
b=d ; g=a ; e=h ; f=g
Ángulos opuestos por el vértice
TEOREMAS DE ÁNGULOS
Todo circulo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.
Los ángulos básicos del triangulo isósceles son iguales.
Los ángulos opuestos por el vértice que forman al cortarse una recta son iguales.
Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los del otro triángulo, ambos triángulos don congruentes.
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Los triángulos se pueden clasificar según dos criterios: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.
Según la medida de sus lados hay 3 tipos de triángulos. Estos son:
Equilátero
Es el único triángulo regular.
Isósceles
El lado distinto se llama base = AB.
Escaleno
Según la medida de sus ángulos, también encontramos 3 tipos de triángulos. Ellos son:
Acutángulo
Sus 3 ángulos interiores son agudos.
Rectángulo
< CAB = 90°
< ABC y < BCA = agudos. Lados que forman < recto se llaman catetos. El otro, hipotenusa.
Obtusángulo
< CAB = obtuso. < ABC y < BCA = agudos.
ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIÁNGULO
Las líneas notables del triángulo o sus elementos secundarios son:
alturas (h)
bisectrices (b)
simetrales (s)
transversales de gravedad (t)
medianas
Alturas
Son segmentos perpendiculares (segmentos que forman ángulos de 90º) a un lado o a su prolongación desde el vértice opuesto. La altura se designa con la letra h y un subíndice que señala el lado del cual se levanta.
Un triángulo tiene tres alturas, una por cada lado (ha, hb, hc).
El punto O donde concurren las tres alturas se llama Ortocentro (O).
El lado y su altura forman un ángulo de 90º.
Bisectrices
Es la recta que dimidia un ángulo; es decir, es la recta que divide un ángulo en su mitad. Un triángulo tiene 3 bisectrices, uno por cada ángulo y se designan normalmente por la letra b y un subíndice que señala el respectivo ángulo interior.
El punto O donde concurren las tres bisectrices se llama incentro. El incentro corresponde al centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Simetrales o Mediatrices
Corresponden a rectas perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo en su punto medio.
Las tres simetrales se cortan en un punto llamado (O) circuncentro. La circunferencia pasa por los tres vértices.
Siempre debe tenerse en cuenta que:
Si existe una simetral, existe un ángulo recto y un punto medio.
La simetral no siempre pasa por el vértice opuesto.
En todo triángulo se puede circunscribir una circunferencia cuyo centro es el circuncentro.
Transversales de gravedad
Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene tres transversales de gravedad, una por cada lado y se designan normalmente con la letra t y un subíndice que señala el lado (ta, tb, tc ).
El punto donde se intersectan las tres simetrales se llama baricentro y se representa con la letra G.
Medianas
Son los segmentos que unen directamente los puntos medios de dos lados del triángulo, de dos en dos.
La mediana se designa con la letra m y un subíndice que indica el lado sobre el cual se proyecta.
La mediana tiene una longitud igua
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