bien no se puede factorizar entonce completemos cuadrados para encontrar las raices o ver qué sucede:
x^2 + x + (1/2)^2 + 2 - (1/2)^2>=0
factoricemos el trinomio cuadrado perfecto
(x + 1/2)^2+ 8/4 -1/4>=0
sumemos los términos independientes:
(x +1/2)^2 +7/4 >=0
obsérvese la inecuación resultante, que es equivalente a la original:
nótese que el binomio al cuadrado es siempre positivo o igual a cero (un cuadrado siempre es positivo o igual a cero) y al sumarle un número positivo como 7/4 entonces se obtendrá siempre un número positivo y de hecho mayor o igual a 7/4, y 7/4 es mayor que 0, entonces está claro que está desigualdad siempre se satisfara sin importar el valor de x, luego la solución es todo el conjunto de los reales, o en forma de intervalos:
x pertenece a (-inf, inf)
PD: nótese que la ecuación cuadrática correspondiente no tiene soluciones reales sino sólo complejas, es una ecuación que nunca es cero y como acabamos de ver es siempre positiva, la parábola corrspondiente nunca cruza el eje x, está encima de ese eje. Prueba por ejemplo hallar el vértice y verás que su coordenada en y es mayor que cero.
