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Dar el dominio y rango de las siguientes funciones por favor

[tex]\frac{(1-x) ^{1/2}}{3}[/tex]

 

[tex](1-x^2)^ {1/2}[/tex]

[tex]\frac{x^{2} - 5x + 4}{x^{2} - 2x - 8}[/tex]

Sagot :

F4BI4N

1)

 

f(x) = (1-x)^1/2

         _______

                  3

 

 

Comenzemos con el dominio ,  dominio son los valores que puede tomar la función .

Vemos que hay una raíz y la restricción es que , la raíz NO puede ser negativa si es cuadrada.

Entonces colocamos la primera restricción:

 

i ) 1 - x >= 0

  1 >= x ó x<=1 , Como vemos que el denominador esta listo , la única restricción sera esa,

Entonces el dominio será : ( - infinito , 1]

Ahora sabiendo el dominio calculemos el recorrido

recorrido es 

para todo y que tome los valores x<= 1 en la función.

Al saber eso despejamos el x de la función en vez de la y , ya que al encontrar la y estamos listos para el recorrido

f(x) es lo mismo que y.

 

y = (1-x)^1/2

      ______

             3

 

3y = 1-x ^ 1/2  / elevo al cuadrado

9y^2 = 1-x

9y^2 - 1 = -x

x = -9y^2 + 1

Como sabemos que x <= 1 , solo reemplazamos allí para ver que valores toma y.

x<=1

 

-9y^2 + 1 <= 1

-9y^2<= 0 / * -1

9y^2 >= 0

y^2 >= 0

y >= 0

R : Dominio es (-inf , 1] y recorrido o rango es [0, +inf).

 

El 2 sabiendo esto es sencillo , te ayudaré con el 3.

 

 

 

 

 

 

 

3)  

              x^2 -5x +4

f(x)=      _______

              x^2 -2x - 8  <<<---------- NO PUEDE SER 0.

 

 

 

Tienes que saber que en el denominador no puede quedar 0 o quedará como función indeterminada y no es lo ideal, entonces tendremos que calcular la ec. cuadrática que nos de los resultados en que la ecuación queda 0 , para excluirlos del dominio.

x^2 - 2x - 8 = 0

(x - 4 )(x + 2)= 0

 x = 4

x = -2

Entonces con x = 4 y x = -2 el denominador queda 0 , tendremos que excluir aquellos valores. arriba da lo mismo.

Por lo tanto,

Dominio = R - { 4,-2}  ( los reales excepto el 4 y el -2).

Ahora el recorrido, Despejemos x.

 

y = 

x^2 -5x +4

_______

x^2 -2x - 8

 

Ahora teniendo restringida la función podemos factorizar o cosas por el estilo.

 

(x - 1)(x - 4)

________

(x -4 )(x + 2)

Simplifcamos

 

y = (x - 1)

     _____

        x + 2

 

yx + 2y = x -1

yx + 2y = x - 1

2y + 1 = x - xy / : x

2y + 1

_____ = 1 - y

    x 

2y + 1 = x( 1- y)

2y + 1 

_____ = x

 1 - y

Nos quedo eso el x.

Ahora tenemos que hacer lo mismo anterior. ver los intervalos EXCEPTO -2 Y 4

Esto quiere decir :

i) x < - 2

ii) -2<x<4

iii) x>4

De esta forma no tomará el -2 y el 4 .

Reemplazas el x por la expresión de arriba 2y + 1 / 1 - y.

Luego te daran conjuntos para cada i) , ii) ,iii). Luego unes las soluciones y te dará el recorrido.

Saludos. alguna duda me avisas ;)

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