1) a = -1j + 1k =
b= 1i + 0j + -1k =
2) para encontrar los vectores unitarios se normaliza el vector:
b / ||b|| ese cuociente corresponde al vector unitario.
necesitamos ||a|| y ||b|| que corresponden a los módulos de ambos vectores; y se calculan:
||a||= raiz cuadrada de (ax^2 + ay^2+az^2)
reemplazando con los valores del vector queda: ||a||= raiz de 2
haciendo lo mismo con el vector b nos queda ||b||= raiz de 2
normalizando el vector a: (0 , -1 , 1 ) / raiz de 2
vector unitario: (a tongo)= ( 0/raiz de 2 , -1 /raiz de 2 , 2 /raiz de dos)
lo mismo con b: (1,0, -1) / raiz de 2
vector unitario (b tongo) = (1/ raiz de 2 , 0 /Raiz de 2, -1/raiz de 2)
*con tongo me refiero al sombrerito (^) que lleva la letra para saber que nos referimos a un vector unitario.
3) La suma de vectores es tan simple como sumar cada componente con el del otro vector:
a+b = ( 0+1 , -1+0 , 1+-1) = (1 , -1 , 0)
La sustraccion de vectores es sumar el vector a con el opuesto del vector b.:
a-b= (0,-1,1) + (-1,0,1) = (-1,-1,2)
4) Producto escalar o producto punto: es posible obtenerlo por el método analitico o por el metodo geométrico.
Si a= (ax,bx,bz) y b=(bx,by,bz)
metodo analitico: a · b = axbx + ayby + azbz
nos queda a · b= 0 · 1 + -1 · 0 + 1 · -1 = -1
5) producto vectorial tambien puede ser obtenido por método analitico o método geométrico, pero en el caso que nos dan los datos de los dos vectores se utiliza analitico que es con matrices:
axb= | i j k | (imaginate una matriz 3x3).. ijk vectores unitarios
.........|ax ay az |
.........|bx by bz |
desarrollando la matriz nos queda:
axb = i | ay az | - j |az ax | + k |ax ay |
......... |by bz |.....| bz bx | ......| bx by|
axb= i(aybz-azby) - j(azbx-axbz) + k(axby -aybx)
entonces ahora simplemente se reemplaza:
axb= i(-1 ·-1) - j(1 ·1 - 0 ·-1) + k(0 ·0 - 1 ·-1)
6) Angulo entre los vectores; es posible obtenerlo ocupando el producto escalar que obtuvimos en 4).
Se utiliza el metodo geométrico:
a·b= ||a||·||b|| · cos (angulo que forman)
despejando la incognita del angulo queda:
cos angulo= a·b / ||a||·||b||
||a||·||b|| = ya vimos en 2) como se obtienen
||a||= raiz de 2
||b||= raiz de 2
entonces volviendo a la expresion inicial:
cos angulo= a·b / ||a||·||b||
reemplazamos con los datos obtenidos
cos angulo: -1 / raiz de 2 · raiz de 2
cos angulo: -1 / 2 (aplicamos arc cos para eliminar el coseno y obtener el ángulo)
arc cos cos angulo = arc cos -1/2
angulo= 120°
