Si con potencia te refieres a multiplicar n veces un mismo número o cantidad entonces un ejemplo sencillísimo es el cálculo de áreas, por ejemplo, de regiones cuadradas, luego esto se puede generalizar para calcular el área de cualquier otra región en m^2 imaginando que esa región está compuesta por una infinidad de cuadraditos pequeñitos y la suma de cada una de éstas áreas sería el área de cuaquier región, de igual manera con los cubos, sólo que esto se usa para hallar volúmenes.
También se puede aproximar la aceleración de la gravedad a (pi)^2
Si con potencia te refieres a la energía por unidad de tiempo entonces por ejemplo (y con esto mato dos pájaros de un tiro), la potencia irradiada por cualquier cuerpo que no tenga una temperatura igual al cero absoluto está dada por: H=eAs(T^4)
Donde e es la emisividad, A es el área superficial, s es una constante y T es la temperatura... a la cuarta! o sea que cualquier cuerpo ya sea un hombre, un perro o un cubo de hielo emite radiación a una taza proporcianal a la cuarta potencia de su temperatura!!! y esto, creéme es bastante porque la temperatura de un cuerpo a temperatura ambiente, por ejemplo, es de aprox 300K (kelvin) y 300 a la cuarta es 300x300x300x300=8100000000 !!!. Por ejemplo en un día frío tu cuerpo irradia lo mismo que dos focos de 60 watts en 10 minutos aproximadamente.
Y bueno, esas dos cosas son potencia
Ahora, en relación a la raíz cuadrada
Depende que consideres vida cotidiana, si piensas dedicarte a ingeniería, encuentras cotidianamente su uso. Estos son casos particulares de exponentes fraccionarios, cosa que encuentras mucho en ecuaciones físicas (raiz cuadrada de x = x ^1/2, para cúbica de x = x^1/3, ^ indica potencia). Por ejemplo, el cálculo de la velocidad terminal de un cuerpo en caída libre podría incluirlo, la forma como se comportan capacitores e inductancias, etc.
espero haberte ayudado
