Para este ejercicio utilizaremos las siguientes formulas
[tex]Formulas\ del\ tiro\ parabolico.\\ \\Posicion\\ \\x=x_{o}+v_{o}\cdot cos\alpha\cdot t\\ \\y=y_{o}+v_{o}\cdot sen\alpha\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}\\ \\Velocidad\\ \\v_{x}=v_{o}\cdot cos\alpha\\ \\v_{y}=v_{o}\cdot sen\alpha-g\cdot t[/tex]
Bien segun los datos, nos dicen que cuando el balón recibe una patada, este alcanza una distancia horizontal de 70 yardas. Esto quiere decir cuando toca el suelo. La altura y=0 y x=70 yardas.
Vamos a convertir las yardas a metros y trabajar cómodamente.
[tex]70yd\cdot\frac{0,9144m}{1yd}=64,008\approx64m[/tex]
Entonces:
y=0m, la y representa la altura del balón
x=64m la x representa el alcance del balón
Asi que de la ecuacion de posición "y" podemos despejar el tiempo de vuelo cuando y=0 , y con ese tiempo de vuelo que nos indica cuando toca el suelo podremos determinar la velocidad inicial, ya que conocemos el alcance, que es cuando toca el suelo en x=64m, la y=0.
[tex]Despejamos\ "t"\\ \\0=v_{o}\cdot sen45\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}\\ \\\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}=v_{o}\cdot sen45\cdot t\\ \\la\ "t"\ pasa\ a\ dividir\ a\ "t^{2}"\ y\ nos\ queda:\\ \\\frac{1}{2}\cdot g\cdot t=v_{o}\cdot sen45\\ \\t=\frac{2\cdot v_{o}\cdot sen45}{g}[/tex]
Una vez hallado el tiempo de vuelo "t" lo introducimos en la ecuacion de posicion "x"
siendo x= 64m
[tex]64=v_{o}\cdot cos45\cdot t\\ \\despejo\ v_{o}\\ \\v_{o}=\frac{64}{cos45\cdot t}\\ \\reemplazamos\ el\ valor\ de\ "t"\\ \\v_{o}=\frac{64}{cos45\cdot\frac{2\cdot v_{o}\cdot sen45}{g}}\\ \\v_{o}=\frac{64\cdot g}{2\cdot v_{o}\cdot sen45\cdot cos45}\\ \\como\ sen45=cos45=\frac{\sqrt{2}}{2}\ y\ g=9,81\frac{m}{s^{2}}\\ \\y\ pasamos\ el\ v_{o}\ que\ esta\ dividiendo\ al\ otro\ lado\\ multplicando\ a\ v_{o}\ lo\ cual\ nos\ queda:[/tex]
[tex]v_{o}^{2}=\frac{64\cdot g}{2\cdot sen45\cdot cos45}\\ \\v_{o}^{2}=\frac{64\cdot9,81}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}}\\ \\v_{o}^{2}=\frac{627,84}{2\cdot\frac{2}{4}}\\ \\v_{o}^{2}=627,84\\v_{o}=\sqrt{627,84}\\ \\v_{o}=25,056\frac{m}{s} [/tex]
Ya tenemos calculada la velocidad inicial, ahora calculamos el tiempo de vuelo, introduciendo el valor de la velocidad inicial otra vez es nuestra ecuacion "t"
[tex]t=\frac{2\cdot v_{o}\cdot sen45}{g}\\ \\t=\frac{2\cdot25,056\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{9,81}\\ \\t=3,612\ seg[/tex]
Y por ultimo para hallar la altura máxima. Esto se calcula cuando la componente vertical de la velocidad "Vy" es igual a cero ya que "Vx" permanece siempre constante.
Entonces la altura máxima supone Vy=0 Así que de esta ecuación tendremos que despejar t, ya que el tiempo será distinto.
[tex]0=v_{o}\cdot sen45-g\cdot t\\ \\g\cdot t=v_{o}\cdot sen45\\ \\t=\frac{v_{o}\cdot sen45}{g}[/tex]
Una vez obtenido este tiempo. lo sustituyo en la ecuacion de posicion "y" para determinar la altura maxima
Asi:
[tex]y=v_{o}\cdot sen45\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}\\ \\sustituimos\ el\ nuevo\ valor\ de\ "t"\\ \\y=v_{o}\cdot sen45\cdot\frac{v_{o}\cdot sen45}{g}-\frac{1}{2}\cdot g\cdot(\frac{v_{o}\cdot sen45}{g})^{2}\\ \\y=\frac{v_{o}^{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{g}-\frac{g\cdot v_{o}^{2}\cdot(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}{2\cdot g^{2}}\\ \\y=\frac{v_{o}^{2}\cdot\sqrt{2}}{2\cdot g}-\frac{v_{o}^{2}\cdot\frac{2}{4}}{2\cdot g}\\ \\saco\ factor\ comun\ v_{o}^{2}\\ \\y=\frac{v_{o}^{2}\cdot(\sqrt{2}-\frac{2}{4})}{2\cdot g}[/tex]
reeemplazo valores y resuelvo
[tex]y=\frac{25,056^{2}\cdot(\sqrt{2}\cdot\frac{2}{4})}{2\cdot9,81}\\ \\y=29,25m[/tex]
Saludos!!!
