El caso general
Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:
ax³ + bx² + cx + d = 0,
donde a, b,c y d (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a ℂ. Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas. En este cuerpo, es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la identidad siguiente es válida:
(a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3
Basta con encontrar una solución, digamos r, pues al factorizar ax3 + bx2 + cx + d por x - r, obtenemos una ecuación de segundo grado que sabemos resolver, lo que dará las demás raíces. En un cuerpo algebráicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.
Los pasos de la resolución son:
• Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene:
x3 + b'x2 + c'x + d' = 0 con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a.
• Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/3, para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarollar (z - b'/3)3 con la identidad precedente, vemos aparecer el término -b'z2, compensado exactamente por b'z2 que aparece en b'(z - b'/3)2. Se obtiene:
z3 + pz + q = 0, con p y q números del cuerpo.
• y ahora, la astucia genial: escribir z = u + v.
La ecuación precedente da (u + v)3 + p(u+v) + q = 0.
Desarollando: u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + pu + pv + q = 0.
Reagrupando: (u3 + v3 + q) + (3uv2 + v3 + pu + pv) = 0.
Factorizando: (u3 + v3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0.
Comó se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z) , es posible imponerse una condicion adicional. Concretamente:
3uv + p = 0, que implica u3 + v3 + q = 0 .
• Pongamos U = u3 y V = v3. Entonces tenemos U + V = - q y UV = - p3/27 porque UV = (uv)3 = (-p/3)3.
Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar (E) X2 + qX - p3/27 = 0, que se sabe resolver.
Luego u y v son raíces cúbicas de U y V (que verifican uv = -p/3), z = u + v y finalmente x = z - b'/3. En el cuerpo C, si u0 y v0 son estas raíces cúbicas, entonces las otras son ju0 y j2u0, y por supuesto jv0 y j2v0, con j = e2iπ/3, una raíz cubica de la unidad.
Como el producto uv está fijado ( uv = -p/3) las parejas (u, v) posibles son ( u0, v0), ( ju0 , j2v0) y (j2u0, jv0).
Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto ju0 + j2v0 - b'/3 y j2u0 + jv0 - b'/3.
