Una ecuación de segundo grado1 2 o ecuación cuadrática
es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos cuyo grado
máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada
por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática es:
donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal
coinciden con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir
dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de
soluciones de la ecuación).
De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática3 a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:
donde el símbolo ± indica que los valores
y
constituyen las dos soluciones.
Discriminante
Ejemplo del signo del discriminante:
■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);
■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):
Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.
Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):
.
Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):
Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):
donde i es la unidad imaginaria.
En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no
nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.
Ecuación bicuadrática
Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:
(*)
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática. Si se hace el cambio de variable , las soluciones de la ecuación (*) pueden reducirse a las soluciones de una ecuación cuadrática. Si son soluciones de la ecuación:
Entonces las otras soluciones, algunas de las cuales pueden ser complejas son:
