Si te fijas en la figura... que puedes ver aquí:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/images/apothem.gif
te darás cuenta que si tienes el diámetro de la circunferencia, con la mitad del diámetro tienes radio de la misma que es el que va a tocar en la mitad del lado del hexágono circunscrito. Por tanto, el radio de la circunferencia (11,5 cm.) es la apotema del hexágono.
Necesitamos saber el lado del hexágono ya que nos pide la longitud, que entiendo yo que se referirá al perímetro de la figura.
Con la medida de la apotema y la mitad del ángulo central del hexágono (que fácilmente se deduce que mide 30º ya que cada ángulo central de un hexágono regular es de 60º) podemos aplicar la función tangente que relaciona los dos catetos de un triángulo rectángulo. Dicho triángulo rectánculo se forma con la apotema (cateto mayor) el radio (hipotenusa) y la mitad de lado (cateto menor).
Así pues tenemos que:
Tg. 30 = Cat. opuesto (el menor) / Cat. adyacente (el mayor) ... despejando el opuesto...
Cat. opuesto (mitad del lado) = Tg. 30 x Cat. adyacente (apotema) =
= √3 / 3 x 11,5 = 6,64 cm. (aproximando por exceso y usando todas las cifras que muestra el resultado en la calculadora)
Quedamos en que eso es la mitad de lado, luego el lado medirá:
6,64 x 2 = 13,28 cm. y la longitud (o perímetro) del hexágono será:
13,28 x 6 = 79,68 cm
Saludos.
