Polinomio
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Gráfica de un polinomio de grado 7.
En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos' y νόμος nómos 'regla, prescripción, distribución', a través del latín polynomius)1 2 3 es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o un sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.
Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable;
las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen
aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática
elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.
Índice
1 Definición algebraica
1.1 Polinomios de una variable1.2 Polinomios de varias variables1.3 Grado de un polinomio2 Operaciones con polinomios3 Funciones polinómicas
3.1 Ejemplos de funciones polinómicas4 Factorización de polinomios5 Historia6 Véase también7 Referencias8 Enlaces externos
Definición algebraica
Polinomios de una variable
Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma
El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.
Polinomios de varias variables
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una
variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
En detalle el último de ellos es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.
Grado de un polinomio
Artículo principal: Grado (polinomio).
Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
EjemplosP(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como . En particular los números son polinomios de grado cero.
Operaciones con polinomios
Artículo principal: Operaciones con polinomios.
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios
semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de
un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se
simplifican los monomios semejantes.
Ejemplo
Sean los polinomios: y , entonces el producto es:
Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir
los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa
el producto de dos polinomios es la siguiente:
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios y y el polinomio producto :
(*)
Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo
es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que (junto con la operación ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos
