SOLUCIÓNComo los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: .
fig. 6.5.13. En este caso: a = 4; c = 5, de donde (Ver fig. 6.5.13.) En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: . Ahora, Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , y,
2. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: . Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.
SOLUCIÓNLa ecuación: , puede escribirse en las formas equivalentes: La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y
(fig. 6.5.14.)
fig. 6.5.14.En este caso: . Luego, . Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3). Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas son las rectas de ecuación: e .
..3. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas.
SOLUCIÓNComo la distancia entre los vértices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10, se sigue que c = 5 y por lo tanto b2 = c2 – a2 = 9. Asi que b = 3 (fig. 6.5.15.).
fig. 6.5.15.Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma: Las coordenadas de los focos son: y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F’(-3, 3).
Igualmente, las coordenadas de los vértices son: y y = 3. Esto es, V1(6, 3) yV2(-2, 3). Además, de la ecuación: , se deduce que: ; y son las ecuaciones de las asíntotas.
4. Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas.
SOLUCIÓNLa ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:
Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2 (fig. 6.5.16.)
fig. 6.5.16.Además, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual: . Las coordenadas de los focos son: x = 2 e . Esto es F(2, 5) y F’(2, -3). Igualmente, las coordenadas de los vértices son: x = 2 e . Esto es V1(2, 3) y V2(2, -1). Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , e, .
5 .En el SISTEMA DE NAVEGACIÓN DE LARGO ALCANCE (LORAN, por sus siglas en inglés), una estación principal de radio y una estación secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en el mar (ver fig. 6.5.17.). Aunque un barco recibe siempre las dos señales, por lo regular se halla mas cerca de una de las dos estaciones y, por lo tanto, hay cierta diferencia en las distancias que recorren las dos señales, lo cual se traduce en una pequeña diferencia de tiempo entre las señales registradas. Mientras la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia de las dos distancias también será constante. Si el barco sigue una ruta que mantenga fija la diferencia de tiempo, seguirá la trayectoria de una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones de radio.
