DESDE LO ALTO DE UN EDIFICIO DE 30 m DE ALTURA SE OBSERVA UN AUTO CON UN ANGULO DE DEPRESION DE 53° ¿ A QUE DISTANCIA DE LA BASE DEL EDIFICIO SE ENCUENTRA EL AUTO?
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable
La altura del edificio junto con el suelo donde este se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por lado BC (a) que equivale a la altura del edificio -donde se encuentra el observador avistando un auto-, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del edificio hasta el auto -ubicado en A- y el lado AC (c) que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del edificio- hasta dicho auto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 53°
Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 53° al punto A para facilitar la situación
Por ello se ha trazado una proyección horizontal
Conocemos la altura del edificio donde se encuentra el observador y de un ángulo de depresión de 53°
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente
Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del edificio- donde se ubica el observador-, y conocemos un ángulo de depresión de 53° y debemos hallar a qué distancia desde la base del edificio se encuentra el auto- el cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =53^o}[/tex]
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { tan(53^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura \ del \ edificio }{ distancia \ al \ auto } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {distancia \ al \ auto = \frac{ altura \ del \ edificio }{ tan(53^o) } } }[/tex]
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ auto= \frac{ 30\ m \ }{ \frac{4}{3} } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {distancia \ al \ auto= 30\ m \ \ . \ \frac{3}{4} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ auto= \frac{90 }{4} \ m } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { distancia \ al \ auto = 22.5 \ metros } }[/tex]
Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto
