Ejercicio 1
Hallar
la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5) ....
- Solución:
x2 – x1 = 3 – 2 = 1 ; y2 – y1 = 5 – (-3) = 13
Ejercicio 2
Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano.
Determine:
Coordenadas del punto medio M del
segmento
Coordenadas del punto P sobre el
segmento
- Solución:
Si el punto
medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) entonces:
Luego,
las coordenadas del punto M son. M (1, 1/2) b)
Como entonces
Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P,
se tiene de acuerdo a las fórmulas (5) y (6):
Luego, las coordenadas del punto P, son: P
Ejercicio 3
Escribir la ecuación de las rectas l, m, n, y r.
- Solución:
Para la recta l, se tiene y = (tan 30º) .
Para la
recta n, se tiene y = (tan 45º) .
Es decir y = x
Igualmente, para la recta m, se tiene: y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x = -1.x Esto es,
y = -x Ahora, como
el punto P(1, 3) g r, se tiene que Luego,
y = 3x es la ecuación de la recta r.
Ejercicio 4
Escribir la
ecuación de las rectas l, m, n y r .
- Solución:
Para la recta l, el intercepto con el eje y es b
= 1.
Luego, la ecuación de la recta l es: y = x
+ 1.
Para la recta m, b = 1
Por lo
tanto, y = -x + 1 es la ecuación de la recta m.
También para la recta n, b = -2 y la ecuación de
la recta n, tiene la forma, y = mx – 2. Como el punto (2, 0) n, entonces satisface
su ecuación, es decir, 0 = 2m – 2 , de donde m = 1. Por tanto, y = x – 2 es la ecuación de la recta
n.
Para la
recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación: y = 2x + 2.
Ejercicio 5
Determine las ecuaciones de las rectas l y r.
- Solución:
Para la recta l, se tiene: y – 3 = ml (x + 1).
Pero ml = tan 135º =
- tan 45º = -1 Luego, y – 3 = - (x + 1) ó
x + y – 2 = 0 es la ecuación de la recta l. Para la
recta r se tiene: y – 3 = mr (x + 1).
Pero, mr = x
Luego, y – 3 = 3(x + 1) ó 3x – y + 6 = 0
representa la ecuación de la recta r.
Ejercicio
6
Obtener
la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine
el intercepto de la recta con el eje y
- Solución:
La ecuación de l viene dada por:
3y – 9 = 2x – 2 o también,
2x – 3y + 7 = 0 (1) La
ecuación (1) corresponde a la recta pedida. Para hallar el intercepto b de la recta
con el eje y, hacemos en (1) x = 0, obteniendo:
Ejercicio
7
Escribir las ecuaciones de las l, , l2 , l3 , y
l4.
- Solución:
Para l1 se tiene: a = 1, b = -1
Luego, es la ecuación de l1, es decir,
x – y = 1
Para l2 : , de donde
Para l3 : , es decir, x + y = 1 Finalmente, para l4 de donde x + y = -1
Ejercicio
8
Usando la forma general, determine la ecuación de
la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1)
- Solución:
Suponga
que la recta pedida tiene por ecuación: Ax + By + C = 0 (1).
Como P1 y P2 pertenecen a la recta, entonces sus
coordenadas satisfacen la ecuación (1). Esto es:
A(-1) + B(-4) + C = 0 ó -A – 4B + C = 0 (2) A(5)
+ B(1) + C = 0 ó 5A + B + C = 0 (3)
Resolviendo
simultáneamente las ecuaciones (2) y (3) para A y B en términos de C
obtenemos: y
Reemplazando los valores de A y B en (1) se
obtiene: ó Dividiendo ésta última igualdad
por –C, obtenemos finalmente, 5x – 6y – 19 = 0 como la ecuación de la recta
pedida.
Ejercicio
9
Dada la
recta l cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0.
Determinar:
a)
La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l.
b) La ecuación de la recta que
pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l.
- Solución:
Sean l1 y l2 las rectas paralela y perpendicular
a l respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2).
Sean m1, m y m2 las pendientes de l1, l y
l2 respectivamente.
Como l1 t l2 entonces m1 = m y puesto que m =
-3/4 se sigue que m1 = -3/4.
Ahora, usando la forma punto – pendiente
(Sección 4.4.3.) de la ecuación de la recta, se tiene para l1:
y simplificándola se puede escribir en la forma general:
3x + 4y – 11 = 0 b) Como l2
u l1 , entonces m2 = -1/m y como m = -3/4, se sigue que m2 = 4/3. Usando nuevamente la forma punto – pendiente se
tiene para l2: y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0
3x + 4y – 11 = 0
