Se entiende que estás en el plano y que tienes que tener 2 rectas, de ecuaciones:
[tex]r\equiv a_1x+a_2y+a_3=0; s\equiv b_1x+b_2y+b_3=0[/tex].
Para que sean paralelas, sus pendientes tienen que ser iguales, y la pendiente en la recta 1 es (despejando y, el coeficiente de x):
[tex]a_1x+a_2y+a_3=0\to a_2y=-a_1x-a_3\to y=\frac{-a_1}{a_2}x-\frac{a_3}{a_2}[/tex]
Con lo cual, [tex]m=\frac{-a_1}{a_2}[/tex]. Análogamente, la pendiente de la recta [tex]s[/tex] es [tex]m=\frac{-b_1}{b_2}[/tex].
Luego la condición analítica es:
[tex]\frac{-a_1}{a_2}=\frac{-b_1}{b_2}\to r\;\| \:s[/tex]
Para que sean perpendiculares, el producto de sus pendientes ha de ser -1:
[tex]\frac{-a_1}{a_2}\cdot \frac{-b_1}{b_2}=-1\to r\; \perp \:s[/tex]
En cualquier otro caso, son oblicuas.
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De otra forma:
si [tex]m_r[/tex] y [tex]m_s[/tex] son las pendientes de las dos rectas,
a) r y s son paralelas si [tex]m_r=m_s[/tex]
b) r y s son perpendiculares si [tex]m_r\cdot m_s=-1[/tex]
c) r y s son oblicuas si las relaciones entre sus pendientes no son ninguna de las anteriores.
