La pendiente es el valor de la derivada en ese punto, es decir, si tengo una función [tex]y=f(x)[/tex] en un punto [tex]x_0[/tex], entonces la pendiente de la función en el punto es [tex]m=f'(x_0)[/tex].
aquí lo que no tienes es la curva, así que la dejamos como [tex]y=f(x)[/tex]. Por algún lado tendrá que salir un valor que va cambiando, para que puedas tener toda una familia de curvas.
Por otro lado, la condición de que la pendiente en un punto es siempre igual y de signo contrario al doble de la abscisa de ese punto, traduciendo:
la pendiente en ese punto: [tex]f'(x)[/tex] es igual y de signo contrario al doble de la abscisa, esto es, [tex]=-2x[/tex].
Luego [tex]f'(x)=-2x[/tex].
Para calcular la función buscada (o familia), hacemos la integral:
[tex]\displaystyle \int f(x)\,dx=\int -2xdx=-2\int x\,dx=-2\cdot \frac{x^2}2+C\Rightarrow [/tex]
[tex]f(x)=-x^2+C[/tex], variando [tex]C\in \mathbb{R}[/tex].
(esta es la familia de curvas, cuando fijas un valor de C tienes una sola curva).
Ahora toca saber cuál de estas curvas pasa por el (1, 1), esto es, que [tex]f(1)=1[/tex], pero ya esto no es difícil porque conocemos el valor de [tex]f(x)=-x^2+C[/tex]. Entonces: [tex]1=-(1)^2+C\to 1=-1+C\to C=2[/tex]
Esto significa que hay una sola curva de la familia que pasa por el punto (1, 1), y esa es la función [tex]\boxed{f(x)=-x^2+2}[/tex]
