La hipérbola como sección cónica
La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas.
Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano. La elipse como sección cónicaCuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. (las cónicas como lugares geométricos).
La parábola como sección cónica
Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación. Curvas cuadráticasDefinición :Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como donde Una cónica queda pues definida por una matriz simétrica En lo que sigue denotaremos por Aii a la matriz adjunta en A del elemento aii i=0,1,2 .Ejemplo: En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior
En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son
Las figuras que represetan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:
A continuación estudiamos como se puede determinar que tipo de curva que define una ecuación cuadrática dada.
