n matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1
(1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con
denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas,
tales como: , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.2
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias
formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los
propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el
rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo
avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el
momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se
usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una
definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas
lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa
para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.3 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
