En cualquier polígono, el nº de vértices SIEMPRE es el mismo que el nº de lados.
Por otro lado tenemos la fórmula que relaciona lados y diagonales para hallar el nº de éstas que contiene cualquier polígono en función de sus lados.
Siendo "n" el nº de lados se cumple que:
Nº diagonales (d) = n · (n-3) / 2
Llamo ahora "v" al nº de vértices y represento el enunciado que dice "...el número de sus diagonales mas el número de sus vértices es igual a 9 veces el número de sus lados"... con una ecuación:
d + v = 9n ... sustituyendo "v" por "n", que ya que hemos dicho que es lo mismo, sustituyendo "d" por el valor de la fórmula de arriba, nos queda:
[n·(n-3) / 2] +n = 9n --------> n² -3n +2n = 18n --------> n² -19n = 0
... ecuación de 2º grado incompleta donde sacando factor común de "n"...
n(n-19) = 0
1ª solución: n = 0 (se desestima por ilógica)
2ª solución: n-19 = 0 ... despejando... n = 19 vértices o lados.
Saludos.
