Calcular el volumen del solido que limitado por el paraboloide: [tex]z= x^{2} +y^{2}[/tex]
y el plano: z = 4
Usando coordenas cilindricas tenemos:
[tex]x=rcos \alpha [/tex] ; [tex]y=rsen \alpha [/tex] ; [tex]z=z[/tex]
Luego:
[tex]z= x^{2} +y^{2}[/tex]
[tex]4= (rcos \alpha)^{2} +(rsen \alpha)^{2}[/tex]
[tex]4= r^{2}[/tex]
[tex]r= 2[/tex]
Luego : r ∈ [0; 2] y [tex] \alpha [/tex] ∈ [tex][0; 2 \pi ][/tex] ...(Ver el gráfico, Fig 2)
Del gráfico( Fig.1) : [tex] x^{2} +y^{2} \leq z \leq 4[/tex]
[tex]r^{2} \leq z \leq 4[/tex]
Ademas se sabe que el Jacobiano de las Coor. Cilindricas es: r
Entonces: [tex]V= \int\limits^{2 \pi }_0 { \int\limits^2_0 { \int\limits^4_{r^{2}} {r} \, dz } \, dr } \, d \alpha [/tex]
Resolviendo las integral Triple:
[tex]V= \int\limits^{2 \pi }_0 { \int\limits^2_0 { \int\limits^4_{r^{2}} {r} \, dz } \, dr } \, d \alpha [/tex]
[tex] = \int\limits^{2 \pi }_0 { \int\limits^2_0 {r(4-r^{2})} \, dr } \, d \alpha [/tex]
[tex]= \int\limits^{2 \pi }_0 { \int\limits^2_0 {(4r-r^{3})} \, dr } \, d \alpha[/tex]
[tex]= \int\limits^{2 \pi }_0 {{(2r^{2}- \frac{r^{4}}{4})|^{2}_{0}} \, d \alpha[/tex]
[tex]= \int\limits^{2 \pi }_0 {(2(2)^{2}- \frac{(2)^{4}}{4})} \, d \alpha[/tex]
[tex]= \int\limits^{2 \pi }_0 {4} \, d \alpha[/tex]
[tex]= 4( \alpha )|^{2 \pi }_{0}[/tex]
[tex]= 4( 2 \pi -0)[/tex]
[tex]= 8 \pi [/tex]
Por tanto el Volumen del solido limitado por el Paraboloide: [tex]z= x^{2} +y^{2}[/tex] y el plano: z=4, es:
[tex]V= 8 \pi[/tex]
