La media es de 69,76 aproximadamente y hay 731 individuos que tienen entre 50 y 80 puntos.
Explicación paso a paso:
La variable aleatoria x tiene distribución normal con:
media = μ = desconocida y varianza = σ² = 80.
Para hallar probabilidades asociadas a esta distribución se usa una tabla de probabilidades acumuladas calculadas como áreas bajo la curva normal estándar (z).
La estandarización para calcular sus probabilidades en la tabla estándar es:
[tex]\bold{z~=~\dfrac{x~-~\mu}{\sigma}}[/tex]
En la tabla se obtienen probabilidades acumuladas hasta el valor en estudio, y se denotan:
[tex]\bold{P(x~<~a)~=~P(z~<~\dfrac{a~-~\mu}{\sigma})}[/tex]
a. ¿Cual es la media?
Se conoce que pertenecer al intervalo de valores menores o iguales de x = 72 tiene una probabilidad es de 0,6 y que la varianza es 80.
Vamos a hallar " μ " haciendo el recorrido inverso desde la tabla:
Si P(x < 72) = 0,6
[tex]\bold{P(x~<~72)~=~P(z~<~\dfrac{60~-~\mu}{\sqrt{80}})~=~0,6}[/tex]
El valor en la tabla asociado a una probabilidad de 0,6 es: z = 0,25
De la fórmula de estandarización despejamos μ:
[tex]\bold{\mu~=~x~-~z\cdot\sigma~=~72~-~(0,25)\cdot\sqrt{80}~=~69,76}[/tex]
La media es de 69,76 aproximadamente.
b. Si el número de individuos que la integran es 850 ¿Cuantos tienen entre 50 y 80 puntos?
Primero vamos a hallar la probabilidad de que x sea esté entre 50 y 80:
[tex]\bold{P(50~<~x~<~80)~=~ P(x~<~80)~-~P(x~<~50)}[/tex]
[tex]\bold{ P(50~<~x~<~80)~=~P(z~<~\dfrac{80~-~69,76}{\sqrt{80}})~-~ P(z~<~\dfrac{50~-~69,76}{\sqrt{80}})\qquad\Rightarrow}[/tex]
[tex]\bold{ P(50<x<80)=P(z<1,14)-P(z<-2,21)=0,87-0,01=0,86}[/tex]
Luego, multiplicamos la probabilidad de estar entre 50 y 80 por la cantidad de individuos:
N° de individuos que tienen entre 50 y 80 = (0,86)*(850) = 731
Hay 731 individuos que tienen entre 50 y 80 puntos.
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