Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.
(x-h)2+(y-k)2=r2
X2+y2-2x+4y-4=0
Tienes que hacer dos trinomios cuadrados perfectos
(X2-2x+1)+( y2+4y+4)=4+1+4
(X2-2x+1)+( y2+4y+4)=9
(x-1)2 + (y+2)2 =9
h=1 k=-2 r= raíz de 9 =3
Respuesta:
El centro de la circunferencia está en C = (1, -2)
El radio r = 3
Explicación paso a paso:
Hay dos maneras de resolverla:
A continuación los pasos:
1. Por factorización:
Fórmulas:
Centro de la circunferencia: [tex](x-h)^{2} +(y-k)^{2} =r^{2}[/tex]
Ecuación de la circunferencia: [tex]x^{2} +y^{2} -2x+4y-4=0[/tex]
Descomponemos la ecuación en trinomios cuadrados perfectos:
[tex](x^{2} -2y+1)(y^{2} +4y+4)=4+1+4[/tex]
[tex](x^{2} -2x+1)+(y^{2} +4y+4)=9[/tex]
[tex](x-1)^{2} +(y+2)^{2} =9[/tex] ← Comparamos esta con la fórmula del centro de la circunferencia
Obtenemos los siguientes valores:
[tex]h=1[/tex]
[tex]k=-2[/tex]
[tex]r=\sqrt{9}[/tex] → [tex]r=3[/tex]
Entonces: C = (1, -2) y r = 3
2. Por fórmula:
Fórmulas:
Fórmula general del tipo: [tex]x^{2} +y^{2} +Dx+Ey+F=0[/tex]
Centro de la circunferencia: [tex](x, h) +(y, k) =r^{2}[/tex]
[tex]h=-\frac{D}{2}[/tex]
[tex]k=-\frac{E}{2}[/tex]
Radio [tex]r=\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F } }{2}[/tex]
Valores:
[tex]D=-2[/tex]
[tex]E=4[/tex]
[tex]F=-4[/tex]
Encontramos el centro de la circunferencia [tex](x, h) +(y, k) =r^{2}[/tex], sustituyendo los valores
[tex]h=-\frac{-2}{2}[/tex]
[tex]h=--1[/tex]
h = 1
[tex]k=-\frac{4}{2}[/tex]
k = -2
Centro de la circunferencia: C = (1, -2)
Encontramos el radio [tex]r=\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F } }{2}[/tex]
[tex]r=\frac{\sqrt{(-2)^{2}+(4)^{2}-4(-4) } }{2}[/tex]
[tex]r=\frac{\sqrt{4+16-+16 } }{2}[/tex]
[tex]r=\frac{\sqrt{36 } }{2}[/tex]
[tex]r=\frac{6}{2}[/tex]
r = 3 ← Radio
