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Sagot :
Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número2√
, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.
Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales.
Notación de los números irracionales
La representación gráfica de los números irracionales se la hace con la letra I mayúscula. Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los números imaginarios, cuya representación es la i minúscula. Pero el símbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir una estructura algebraica, y para no crear confusión, en ocasiones se los puede ver como R/Q como la representación de números irracionales por definición.
Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología, estos casos serán tratados posteriormente.
Propiedades de los números irracionales
Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:
Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional. Sin embargo la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación.
Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.
La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.
Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número2√
, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.
Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales.
Notación de los números irracionales
La representación gráfica de los números irracionales se la hace con la letra I mayúscula. Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los números imaginarios, cuya representación es la i minúscula. Pero el símbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir una estructura algebraica, y para no crear confusión, en ocasiones se los puede ver como R/Q como la representación de números irracionales por definición.
Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología, estos casos serán tratados posteriormente.
Propiedades de los números irracionales
Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:
Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional. Sin embargo la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación.
Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.
La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.
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