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Sagot :
Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.
Intervalo abiertoIntervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.
(a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo cerradoIntervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la izquierdaIntervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derechaIntervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.
SemirrectasLas semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.
x > a(a, +∞) = {x / a < x < +∞}
x ≥ a[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞}
x < a(-∞, a) = {x / -∞ < x < a}
x ≤ a(-∞, a] = {x / -∞ < x ≤ a}
Valor absoluto de un número realValor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuestode a, si a es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 − 2 < x < 2 x (−2, 2)
|x|> 2 x< 2 ó x>2 (−∞ , 2 ) (2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
Propiedades1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7
d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9|
DistanciaLa distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:
d(a, b) = |b − a|
EntornosSe llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a-r, a+r).
Er(a) = (a-r, a+r)
Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto.
Er(0) = (-r, r) se expresa también |x|<r, o bien, -r < x < r.
Er(a) = (a-r, a+r) se expresa también |x-a|<r, o bien, a a-r < x < a+r.
Entornos laterales:Por la izquierda
Er(a-) = (a-r, a)
Por la derecha
Er(a+) = (a, a+r)
Entorno reducidoSe emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto.
E r*(a) = { x (a-r, a+r), x ≠ a}
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