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Conocidas las coordenadas de los
puntos A(8, 6, 0) B(0,3,4) y C(-6,8,0) determine un vector M de modulo
10 perpendicular al plano que contiene a los puntos A,B y C 

Sagot :

Solucion:

Si tenemos los puntos:

A(8;6;0)
B(0,3,4)
C(-6;8;0)
                                                    →     →
Entonces, vamos a trazar el vector AB y AC
→
AB =B-A = (0,3,4) - (8;6;0) = (-8;-3;4)
→
AC = C-A = (-6;8;0)-(8;6;0) = (-14;2;0)
Entonces, vamos a buscar un vector que sea paralelo a AB y BC, que tambien será paralelo al plano en el que pertenecen, entonces, un vector que cumpla esta condicion es el resultado del producto vectorial de ambos, entonces.

→   →  →      |  i     j    k  |
n= ABxAC =  |  -8  -3    4 | 
                       |  -14  2    0 |
 →   →  →     
n= ABxAC   = i[(-3)0 -2(4)] - j [-8(0) -(-14)(4)] + k [-8(2) -(-14)(-3)]
→             
n = -8i -56j -58k

** ||n|| = √[(-8)² +(-56)² +(-58)²]
   ||n|| =√(64+3136 +3364)
   ||n|| =√(6564) =2√(3282)

                                                                            →
Luego, hallamos un vector unitario en la direccion de n

→    →
Un = n /||n|| = (-8i -56j -58k)/(2)√(3282)
             →
             Un = (-4i - 28j -29k)/(√(3282)

Entonces, nos piden hallar un vector perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B yC, cuyo modulo sea 10 ,entonces sabemos por definicion que:
(Un vector es el producto de su modulo, por su vector unitario), entonces:
→         →
M = ||M|| Un
→
M = (10)[(-4i - 28j -29k)/(√(3282)]
→
M = (-40 î -280 j - 290k)/√(3282)


O tambien lo puedes expresar como:
→
M = (-40 ; -280 ; -290)/√(3282)



Respuesta: Un vector M cuyo modulo es 10, y ademas es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C, será:
→
M=(-40 î -280 j - 290k)/√(3282) = (-40 ; -280 ; -290)/√(3282)
Si:

A(8;6;0)
B(0,3,4)
C(-6;8;0)
                                                   
Entonces:

AB =B-A = (0,3,4) - (8;6;0) = (-8;-3;4)

AC = C-A = (-6;8;0)-(8;6;0) = (-14;2;0)

Un vector perpendicular a  los vectores AB y AC, será:

→   →  →      |  i     j    k  |
n= ABxAC =  |  -8  -3    4 | 
                       |  -14  2    0 |
 →   →  →     
n= ABxAC   = i[(-3)0 -2(4)] - j [-8(0) -(-14)(4)] + k [-8(2) -(-14)(-3)]
→             
n = -8i -56j -58k

** ||n|| = √[(-8)² +(-56)² +(-58)²]
   ||n|| =√(64+3136 +3364)
   ||n|| =√(6564) =2√(3282)

Por ultimo, un vector unitario en la direccion de n, será:

→    →
Un = n /||n|| = (-8i -56j -58k)/(2)√(3282)
             →
             Un = (-4i - 28j -29k)/(√(3282)

Por  ultimo:

→         →
M = ||M|| Un
→
M = (10)[(-4i - 28j -29k)/(√(3282)]
→
M = (-40 î -280 j - 290k)/√(3282)


O tambien lo puedes expresar como:
→
M = (-40 ; -280 ; -290)/√(3282)


                   →
Respuesta: M=(-40 î -280 j - 290k)/√(3282) = (-40 ; -280 ; -290)/√(3282)
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