si una de las raíces de la función polinomial p(x)=x4-ax2+5x+b es 2 y p(1) +10= 0 , entonces el residuo de dividir p(x) para (x-3) es:
Calcularemos p(1)+10=
[tex]\begin{gathered} P\left( 1 \right) + 10 = {1^4} - a \cdot {1^2} + 5 \cdot 1 + b + 10 \hfill \\ = 1 - a + 5 + b + 10 = a + b + 16 \hfill \\ \end{gathered} [/tex]
Pero como p(1)+10=0, entonces [tex] b-a= -16[/tex].
Por teorema del resto (o del resíduo), el resto de dividir un polinomio K(x) por un binomio de la forma (x+a) (esto incluye el caso donde a es negativo) corresponde a evaluar -a en el polinomio K(x):
[tex]\begin{gathered} P\left( 2 \right) = {2^4} - a \cdot {2^2} + 5 \cdot 2 + b \hfill \\ = 16 - 4a + 10 + b = 26 - 4a + b \hfill \\ \end{gathered} [/tex]
Pero como 2 era raíz del polinomio, entonces, la expresión obtenida es igual a cero:
[tex]b - 4a = - 26[/tex]
Se nos forma ahora un sistema de ecuaciones lineal de dos incógnitas:
[tex]\left. \begin{gathered} b - a = 16 \hfill \\ b - 4a = - 26 \hfill \\ \end{gathered} \right\}[/tex]
Nos resulta que [tex]a = \dfrac{3}{{10}} \wedge b = 6\dfrac{3}{{10}}[/tex]
Luego reemplazar a y b en la ecuación resultante del teorema del resto y listo!
