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Sagot :
tener los 2 polinomios ordenados y el que queda con segno negativo se cambian los signos y luego se ase una suma entre los dos
OPERACIONES CON POLINOMIOS: RESTA / EJERCICIOS RESUELTOS
EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
-
5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
La resta se puede tranformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
+
-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2
A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2
Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la suma. En la EXPLICACIÓN de cada ejemplo lo mostraré resuelto de las tres maneras.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)
A = 5x - 4 - 3x2 (grado 2)
B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2 (grado 3)
0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)
-
4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
0x3 - 3x2 + 5x - 4
+
-4x3 + 5x2 - 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados)
____________________
-4x3 + 2x2 + 3x - 5
A - B = -4x3 + 2x2 + 3x - 5
Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: RESTA
¿Cómo se restan los polinomios?
1) Transformando la resta en suma:
Una manera muy común de hacerlo es transformando la resta en suma, y cambiándole los signos a todos los términos del segundo polinomio (el que se está restando, el "sustraendo"). Porque restar es equivalente a sumar "el opuesto". El opuesto de un número era un número del mismo valor, pero con el signo contrario. Por ejemplo: -5 es el opuesto de 5, 3 es el opuesto de -3, etc. Y el opuesto de un polinomio es un polinomio que tenga "los mismos términos pero con el signo contrario". Por ejemplo, el opuesto de 3x2 + 7x sería -3x2 - 7x.
Veamos en un ejemplo numérico cómo es eso de "restar = sumar el opuesto":
10 - 3 = 7
10 + (-3) = 7
Se puede ver que, al "sumar el opuesto", se está "cambiando la resta por suma, y cambiando el signo al segundo número". Eso mismo se hace con los polinomios. Por ejemplo:
A = 5x2 - 2x + 4
B = 8x2 + 3x - 1
Para restar A - B, se puede transformar en la suma del opuesto: A + (-B).
El que se resta es B: 8x2 + 3x - 1
Y el opuesto de B es: -8x2 - 3x + 1
Así que, en lugar de, a A restarle B, lo que hago es: a A le sumo el opuesto de B:
5x2 - 2x + 4 (polinomio A)
+
-8x2 - 3x + 1 (el opuesto al polinomio B)
________________
-3x2 - 5x + 5
Como a sumar ya se aprendió antes, no hay nada nuevo que aprender, solamente hay que acordarse de cambiarle los signos al segundo polinomio. Luego, es una suma de polinomios.
2) Restando los coeficientes de los términos de igual grado (o "semejantes"):
En vez de transformar la resta en suma, se pueden restar entre sí los coeficientes de los términos semejantes, tal como en la suma se sumaban:
5x2 - 2x + 4 (polinomio A)
-
8x2 + 3x - 1 (polinomio B)
________________
-3x2 - 5x + 5
Las cuentas entre los coeficientes fueron así:
Columna de las x2 ---- > 5 - (+8) = 5 - 8 = -3
Columna de las x: ---- > -2 - (+3) = -2 - 3 = -5
Columna de los "números solos": ---- > 4 - (-1) = 4 + 1 = 5
3) "Resta en el mismo renglón":
Y otra forma de restar polinomios es ponerlos restando uno al lado del otro, tal como se hace también en la suma. Por ejemplo:
A = 5x2 - 2x + 4
B = -4x3 + 9x2 - 3
A - B =
(5x2 - 2x + 4) - (-4x3 + 9x2 - 3) =
Los paréntesis sirven para destacar a cada polinomio, pero el segundo paréntesis es obligatorio ponerlo, pues así se indica que el signo "menos" de la resta está afectando a todos los términos del segundo polinomio. Si no se pusiera el paréntesis, el "menos" afectaría solamente al primer término y no a todo el polinomio. Y hay que restar todo el polinomio. Luego, se pueden quitar los paréntesis, y entonces desaparece el signo de la resta, y cada término del segundo polinomio queda con el signo contrario (regla para quitar paréntesis):
5x2 - 2x + 4 + 4x3 - 9x2 + 3 =
Luego se "juntan" los términos de igual grado (lo cual ya expliqué en la suma de polinomios), y queda:
-4x2 + 7 - 2x - 9x2
EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
-
5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
La resta se puede tranformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
+
-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2
A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2
Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la suma. En la EXPLICACIÓN de cada ejemplo lo mostraré resuelto de las tres maneras.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)
A = 5x - 4 - 3x2 (grado 2)
B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2 (grado 3)
0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)
-
4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
0x3 - 3x2 + 5x - 4
+
-4x3 + 5x2 - 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados)
____________________
-4x3 + 2x2 + 3x - 5
A - B = -4x3 + 2x2 + 3x - 5
Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: RESTA
¿Cómo se restan los polinomios?
1) Transformando la resta en suma:
Una manera muy común de hacerlo es transformando la resta en suma, y cambiándole los signos a todos los términos del segundo polinomio (el que se está restando, el "sustraendo"). Porque restar es equivalente a sumar "el opuesto". El opuesto de un número era un número del mismo valor, pero con el signo contrario. Por ejemplo: -5 es el opuesto de 5, 3 es el opuesto de -3, etc. Y el opuesto de un polinomio es un polinomio que tenga "los mismos términos pero con el signo contrario". Por ejemplo, el opuesto de 3x2 + 7x sería -3x2 - 7x.
Veamos en un ejemplo numérico cómo es eso de "restar = sumar el opuesto":
10 - 3 = 7
10 + (-3) = 7
Se puede ver que, al "sumar el opuesto", se está "cambiando la resta por suma, y cambiando el signo al segundo número". Eso mismo se hace con los polinomios. Por ejemplo:
A = 5x2 - 2x + 4
B = 8x2 + 3x - 1
Para restar A - B, se puede transformar en la suma del opuesto: A + (-B).
El que se resta es B: 8x2 + 3x - 1
Y el opuesto de B es: -8x2 - 3x + 1
Así que, en lugar de, a A restarle B, lo que hago es: a A le sumo el opuesto de B:
5x2 - 2x + 4 (polinomio A)
+
-8x2 - 3x + 1 (el opuesto al polinomio B)
________________
-3x2 - 5x + 5
Como a sumar ya se aprendió antes, no hay nada nuevo que aprender, solamente hay que acordarse de cambiarle los signos al segundo polinomio. Luego, es una suma de polinomios.
2) Restando los coeficientes de los términos de igual grado (o "semejantes"):
En vez de transformar la resta en suma, se pueden restar entre sí los coeficientes de los términos semejantes, tal como en la suma se sumaban:
5x2 - 2x + 4 (polinomio A)
-
8x2 + 3x - 1 (polinomio B)
________________
-3x2 - 5x + 5
Las cuentas entre los coeficientes fueron así:
Columna de las x2 ---- > 5 - (+8) = 5 - 8 = -3
Columna de las x: ---- > -2 - (+3) = -2 - 3 = -5
Columna de los "números solos": ---- > 4 - (-1) = 4 + 1 = 5
3) "Resta en el mismo renglón":
Y otra forma de restar polinomios es ponerlos restando uno al lado del otro, tal como se hace también en la suma. Por ejemplo:
A = 5x2 - 2x + 4
B = -4x3 + 9x2 - 3
A - B =
(5x2 - 2x + 4) - (-4x3 + 9x2 - 3) =
Los paréntesis sirven para destacar a cada polinomio, pero el segundo paréntesis es obligatorio ponerlo, pues así se indica que el signo "menos" de la resta está afectando a todos los términos del segundo polinomio. Si no se pusiera el paréntesis, el "menos" afectaría solamente al primer término y no a todo el polinomio. Y hay que restar todo el polinomio. Luego, se pueden quitar los paréntesis, y entonces desaparece el signo de la resta, y cada término del segundo polinomio queda con el signo contrario (regla para quitar paréntesis):
5x2 - 2x + 4 + 4x3 - 9x2 + 3 =
Luego se "juntan" los términos de igual grado (lo cual ya expliqué en la suma de polinomios), y queda:
-4x2 + 7 - 2x - 9x2
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