Respuesta:
Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:
1 Derivar la función {f(x)}.
2 Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: { f'(x) = 0}.
3 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad de la función original (si los hubiese).
4 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si {f'(x_{0}>0)}, entonces {f(x)} es creciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece {x_{0}}.
Si {f'(x)<0}, entonces {f(x)} es decreciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece {x_{0}}.
5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Ejemplo de cálculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
{f(x)=\displaystyle\frac{x^3}{(x-1)^{2}}}
En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función
{(x-1)^{2}=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ D=\mathbb{R}-1}
Derivamos la función
{f'(x)=\displaystyle\frac{x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{3}}}
Igualamos la derivada a cero y obtenemos las raíces de la ecuación
{x=0, \ \ \ \ \ x=3}
Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera y con los puntos de discontinuidad
Sustituimos un valor de cada intervalo en la función
Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo
Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo
Ejemplo de funciones crecientes y decrecientes
La función es creciente en los intervalos {(-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (3, \infty)}
La función es decreciente en los intervalos {(1, 3)}
