Respuesta:
1Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:
a 2, 3, 6, 8, 11.
b 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Solución:
aPara la serie de números x_{1}=2, x_{2}=3, x_{3}=6, x_{4}=8, x_{5}=11 con n=5=N tenemos los siguientes cálculos.
Para la desviación media primero necesitamos calcular el valor de la media.
Media
\displaystyle { \bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} }
\displaystyle { \bar{x} = \frac{2+3+6+8+11}{5} = 6 }
Luego, calculamos el valor de la desviación media.
Desviación media
\displaystyle{ D_{\bar{x}} = \frac{\mid x_1 - \bar{x} \mid + \mid x_2 - \bar{x} \mid +...+ \mid x_N - \bar{x} \mid}{N} }
\displaystyle{ D_{\bar{x}} = \frac{\mid 2 - 6 \mid + \mid 3 - 6 \mid +\mid 6 - 6 \mid + \mid 8-6 \mid + \mid 11-6 \mid}{5}= \frac{14}{5} = 2.8 }
Ahora, calculamos el valor de la varianza.
Varianza
\displaystyle{\sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{N} \qquad \mbox{\'o} \qquad \sigma^2=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{N}-\bar{x}^2 }
\displaystyle{ \sigma^2=\frac{(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(11-6)^2}{5} = \frac{54}{5}= 10.8 }
Y finalmente, calculamos el valor de la desviación típica.
Desviación típica
\displaystyle{\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{N}} }
\displaystyle{ \sigma = \sqrt{10.8} = 3.28 }
bPara la serie de números x_{1}=12, x_{2}=6, x_{3}=7, x_{4}=3, x_{5}=15, x_{6}=10, x_{7}=18, x_{8}=5 con n=8=N tenemos los siguientes cálculos.
Para la desviación media primero necesitamos calcular el valor de la media.
Media
\displaystyle { \bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} }
\displaystyle { \bar{x} = \frac{12 + 6 + 7 + 3 + 15 + 10 + 18 + 5}{8} = \frac{76}{8}=9.5 }
Luego, calculamos el valor de la desviación media.
Desviación media
\displaystyle { D_{\bar{x}} = \frac{\mid x_1 - \bar{x} \mid + \mid x_2 - \bar{x} \mid +...+ \mid x_N - \bar{x} \mid}{N} }
\displaystyle { D_{\bar{x}} = \frac{\mid 12 - 9.5 \mid + \mid 6 - 9.5 \mid +\mid 7 - 9.5 \mid + \mid 3-9.5 \mid + \mid 15-9.5 \mid + \mid 10-9.5 \mid + \mid 18-9.5 \mid + \mid 5-9.5 \mid}{8}= \frac{34}{8} = 4.25 }
Ahora, calculamos el valor de la varianza.
Varianza
\displaystyle {\sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{N} \qquad \mbox{\'o} \qquad \sigma^2=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{N}-\bar{x}^2 }
\displaystyle { \sigma^2 = \frac{12^2+6^2+7^2+3^2+15^2+10^2+18^2+5^2}{8}-9.5^2 = 23.75 }
Y finalmente, calculamos el valor de la desviación típica.
Desviación típica
\displaystyle {\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{N}} }
\displaystyle { \sigma = \sqrt{23.75} = 4.87}
2Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez. Calcular la varianza.
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
Solución:
Completamos la tabla con:
1 El producto de la variable por su frecuencia absoluta (xi · fi) para calcular la media.
2 El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta (xi² · fi) para calcular la varianza y la desviación típica.
xi fi xi · fi x²i · fi
9 1 9 81
10 4 40 400
11 9 99 1089
12 16 192 2304
13 11 143 1859
14 8 112 1568
15 1 15 225
50 610 7526
Repasa estos conceptos con nuestro profesor de mates.
Media aritmética
\displaystyle {\bar{x}=\frac{610}{50} = 12.2}
Varianza
\displaystyle {\sigma^2=\frac{7526}{50} - 12.2^2 = 1.68}
3El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla. Calcular la varianza.
Sumas Veces
2 3
3 8
4 9
5 11
6 20
7 19
8 16
9 13
10 11
11 6
12 4
Solución:
Agregamos las columnas de xi · fi y de xi² · fi
xi fi xi · fi xi² · fi
2 3 6 12
3 8 24 72
4 9 36 144
5 11 55 275
6 20 120 720
7 19 133 931
8 16 128 1024
9 13 117 1053
10 11 110 1100
11 6 66 726
12 4 48 576
120 843 6633
Media aritmética
\displaystyle {\bar{x}=\frac{843}{120} = 7.025}
Varianza
\displaystyle {\sigma^2=\frac{6633}{120} - 7.025^2 = 5.92}
4Calcular la varianza de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla.
fi
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[25, 30) 4
[30, 35) 2
Solución:
Agregamos las columnas de xi · fi y de xi² · fi
xi fi xi · fi xi² · fi
[10, 15) 12.5 3 37.5 468.75
[15, 20) 17.5 5 87.5 1531.25
[20, 25) 22.5 7 157.5 3543.75
[25, 30) 27.5 4 110 3025
[30, 35) 32.5 2 65 2112.5
21 457.5 10681.25
Solución:
Media
\displaystyle {\bar{x} = \frac{457.5}{21} = 21.79}
Varianza
\displaystyle {\sigma^2=\frac{10681.25}{21} - 21.79^2=33.83 }
5Calcular la varianza de la distribución de la tabla.
xi fi xi · fi xi² · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
Solución:
Media
\displaystyle {\bar{x} = \frac{1820}{42} = 43.33}
Varianza
\displaystyle {\sigma^2=\frac{88050}{42} - 43.33^2=218.94 }
Explicación paso a paso:
