La derivada de f(x) = e⁻ˣ viene siendo f'(x) = -e⁻ˣ.
EXPLICACIÓN:
Para derivar ya existen definidas unas ciertas de leyes y tablas, por tanto aplicaremos estas mismas para obtener el valor.
Según las tablas de funciones, tenemos lo siguiente:
y = e⁻ˣ
Entonces la derivada será:
y' = (e⁻ˣ)'
y' = e⁻ˣ· (-x)'
y' = e⁻ˣ ·(-1)
y' = -e⁻ˣ
Ahora, comprobemos esto con la definición de derivada.
y' = Lim(n→0) [f(x+n) - f(x)]/n
Sabemos que f(x) = e⁻ˣ por tanto f(x+n) = e⁻⁽ˣ⁺ⁿ⁾. Aplicamos el limite y tenemos:
y' = Lim(n→0) [e⁻⁽ˣ⁺ⁿ⁾ - e⁻ˣ]/n
y' = Lim(n→0) [e⁻ˣ·e⁻ⁿ - e⁻ˣ]/n
y' = Lim(n→0) (e⁻ˣ)·[e⁻ⁿ - 1]/n
Aquí hay que saber teoría de limites, por definición se tiene que:
Lim(x→0) (e⁻ˣ - 1)/ x = -1 → Limite especial
Sustituimos el limite especial y tenemos que:
y ' = (e⁻ˣ)·(-1)
y' = -(e⁻ˣ)
Quedando demostrado que la derivadas son correctas.
NOTA: la demostración no es necesaria, ya que la tabla da las derivadas directas, pero se deja como comentario extra.
Mira otro ejemplo de derivada en este enlace brainly.lat/tarea/10942898.
