sen (2u) = 2 sen(u) cos (u)
cos (2u) = cos^2 u - sen^2 u = 2 cos^2 u - 1 = 1 - 2 sen^2 u
Ahora
cos (30º) = √3/2
cos (30º) = 2 cos^2 15º - 1
2 cos^2 15º = 1 + cos(30º) = 1 + √3/2 = (2 + √3)/2
cos 15º = (1/2) *√(2 + √3)
-----------------------------------
cos (30º) = 1 - 2 sen^2 15º
2 sen^2 15º = 1 - cos 30º = (2 - √3)/2
sen 15º = (1/2) *√(2 - √3)
-----------------------------------
Verificamos
2 * sen 15º cos 15º = 2 * (1/2) *√(2 - √3)*(1/2) *√(2 + √3)
= (1/2) √(2 - √3)√(2 + √3)
= (1/2) √(4 - 3)
= 1/2
= sen 30º
----------------------
Podemos racionalizar
(√3 +/- 1)^2 = 1 +/- 2√3 + 3 = 4 +/- 2√3 = 2 (2 +/- √3)
(√3 +/- 1) = √2 √(2 +/- √3)
√(2 +/- √3) = (1/√2) (√3 +/- 1)
√(2 +/- √3) = (√2/2) (√3 +/- 1)
sen 15º =(√2/4) (√3 - 1)
cos 15º =(√2/4) (√3 + 1)
o
sen 15º =(1/4) (√6- √2)
cos 15º =(1/4) (√6+ √2)
Entonces
tan 15º = (√6- √2)/(√6+ √2)
racionalizamos
tan 15º = (√6- √2)^2/(6- 2)
tan 15º = (6 + 2 - 2√12)/4
tan 15º = (6 + 2 - 4√3)/4
tan 15º = 2 - √3
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De la misma forma
cotan 15º = 2 + √3
--------------------------
También
sec 15º = 4/(√6+ √2)
racionalizamos
sec 15º = 4*(√6- √2)/(6-2)
sec 15º = √6 - √2
----------------------
de la misma forma
cosec 15º = √6 + √2
