Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia,demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmación.Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmacion no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará coorario.Hay tres tipos de axiomas:Los axiomas algebraicosLos axiomas de ordenEl axioma topológico.El primero, trata de las propiedades de suma, multiplicación. La resta es una consecuencia de la suma y la division de la multiplicacion; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.
