a) 3x3 y2 + 9x2 y2 – 18xy2
Solución: Se observa que hay factores comunes entre los términos del polinomio dado, por lo que se eligen los factores comunes con su menor exponente (M.C.D.) tanto entre los coeficientes numéricos (3, 32, 2.32) como entre las variables, obteniéndose: 3xy2
El otro factor resulta de dividir cada término del polinomio entre el factor común:
, ,
Por tanto, el polinomio factorizado será:
3x3 y2 + 9x2 y2 – 18xy2 = 3xy2 (x2 + 3x – 6)
La
factorización se puede comprobar efectuando el producto indicado en el
lado derecho de igualdad, el cual debe dar el polinomio que se
factorizó.
b) a (m – 1) + b (m – 1) – c (m – 1)
Solución:
El factor común también puede ser un polinomio, en este caso, m – 1 y
la factorización se realiza en forma análoga a cuando el factor común es
un monomio (véase el ejercicio anterior).
Por lo tanto, a (m – 1) + b (m – 1) – c (m – 1) = (m – 1) (a + b – c)
c) 2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v
Solución: A simple vista se observa que no hay factor común, pero hay términos que “se parecen” como 2av2 y 3uv2.
Además, hay un número par de términos, por lo que, se puede pensar en
el caso de factor común por agrupación, que consiste en hacer grupos con
igual cantidad de términos, se factoriza cada grupo con el propósito de
conseguir un nuevo factor común, y luego, se completa la factorización.
Si al factorizar los grupos no se consigue un nuevo factor común,
entonces, se agrupan de otra forma hasta lograrlo.
Efectuemos una agrupación conveniente de términos, por ejemplo, el 1º con el 4º, el 5º con el 2º y el 3º con el 6º. Entonces,
2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v
= (2av2 – 3uv2) – (2au2 – 3u3) + (2auv – 3u2 v) (se factoriza cada grupo)
= v2 (2a – 3u) – u2 (2a – 3u) + u v (2a – 3u) (aparece un nuevo factor común)
= (2a – 3u) (v2 – u2 + u v) (se completa la factorización). Entonces,
2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v = (2a – 3u) (v2 – u2 + u v)
También
se pueden agrupar los términos de 3 en 3, por ejemplo, los 3 términos
que tienen coeficiente numérico 2 y los 3 que tienen coeficiente
numérico 3. ¡Inténtalo!
d) 9x2 – 36xy + 36y2
Solución: Como es un trinomio, la pregunta inmediata es: ¿Será un trinomio cuadrado perfecto? Se reconoce porque dos de sus términos son positivos y cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta): y ; y el tercer término (positivo o negativo) es igual al doble producto de las raíces cuadradas de los dos primeros: 36xy = 2(3x) (6y).
Entonces,
el trinomio cuadrado perfecto se factoriza separando las raíces
cuadradas por el signo del 2º término, se encierran entre paréntesis y se eleva al cuadrado. O sea,
9x2 – 36xy + 36y2 = (3x – 6y)2
↓ ↓
3x 6y
2(3x)(6y)
