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Sagot :
Ejemplo 1Teniendo la función a derivar:Antes debemos de dejar la funcion en forma de potencia para realizar la derivacion:Procedemos a utilizar la siguiente formula de derivación de la potencia:La función derivada quedaría:Por conveniencia la dejaremos en términos parecidos a la original:
SUMAEjemplo 2Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la siguiente formula de derivación de la potencia a cada uno de los sumandos:La función derivada quedaría:
PRODUCTOEjemplo 3Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la siguiente formula de derivación de producto:Por conveniencia tomaremos el primer factor como f y al segundo como g:Sacamos la derivada de ambas funciones que respectivamente serian:Realizamos las operaciones:Se factoriza y la derivada quedaría:
COCIENTEEjemplo 4Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la siguiente formula de derivación de cociente:Por conveniencia tomaremos el primer dividendo como f y al divisor como g:Sacamos la derivada de ambas funciones que respectivamente serian:Realizamos las operaciones:Se factoriza y la derivada quedaría:
REGLA DE LA CADENAEjemplo 5Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la siguiente formula de derivación de potencia aplicando la regla de la cadena:Por conveniencia identificaremos u y n:
Sacamos la derivada de la función y realizamos las operaciones:
Se factoriza y la derivada quedaría:
TRIGONOMÉTRICASEjemplo 6Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la formula de derivación de seno que utiliza la regla de la cadena:Donde:Derivamos u y realizamos las operaciones:La derivada quedaría:
TRIGONOMÉTRICAS INVERSASEjemplo 7Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la formula de derivación de arco-tangente que utiliza la regla de la cadena:Donde:Derivamos u y realizamos las operaciones:Simplificamos y la derivada quedaría:
EXPONENCIALESEjemplo 8Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la formula de derivación exponencial que utiliza la regla de la cadena:Donde:Derivamos u y realizamos las operaciones:Simplificamos y la derivada quedaría:
LOGARÍTMICASEjemplo 9Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la formula de derivación logarítmica que utiliza la regla de la cadena en su simbolismo mas simple:Donde:Derivamos u y realizamos las operaciones:Simplificamos y la derivada quedaría:
IMPLÍCITASEjemplo 10Teniendo la función a derivar:Se aplican las formulas usuales a los términos con x:En el caso de y se hace lo mismo solo que esta vez como no sabemos su valor dejamos como y' multiplicando su valor desconocido:Entonces despejamos y':Simplificamos y la derivada quedaría:
SUMAEjemplo 2Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la siguiente formula de derivación de la potencia a cada uno de los sumandos:La función derivada quedaría:
PRODUCTOEjemplo 3Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la siguiente formula de derivación de producto:Por conveniencia tomaremos el primer factor como f y al segundo como g:Sacamos la derivada de ambas funciones que respectivamente serian:Realizamos las operaciones:Se factoriza y la derivada quedaría:
COCIENTEEjemplo 4Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la siguiente formula de derivación de cociente:Por conveniencia tomaremos el primer dividendo como f y al divisor como g:Sacamos la derivada de ambas funciones que respectivamente serian:Realizamos las operaciones:Se factoriza y la derivada quedaría:
REGLA DE LA CADENAEjemplo 5Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la siguiente formula de derivación de potencia aplicando la regla de la cadena:Por conveniencia identificaremos u y n:
Sacamos la derivada de la función y realizamos las operaciones:
Se factoriza y la derivada quedaría:
TRIGONOMÉTRICASEjemplo 6Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la formula de derivación de seno que utiliza la regla de la cadena:Donde:Derivamos u y realizamos las operaciones:La derivada quedaría:
TRIGONOMÉTRICAS INVERSASEjemplo 7Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la formula de derivación de arco-tangente que utiliza la regla de la cadena:Donde:Derivamos u y realizamos las operaciones:Simplificamos y la derivada quedaría:
EXPONENCIALESEjemplo 8Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la formula de derivación exponencial que utiliza la regla de la cadena:Donde:Derivamos u y realizamos las operaciones:Simplificamos y la derivada quedaría:
LOGARÍTMICASEjemplo 9Teniendo la función a derivar:Procedemos a utilizar la formula de derivación logarítmica que utiliza la regla de la cadena en su simbolismo mas simple:Donde:Derivamos u y realizamos las operaciones:Simplificamos y la derivada quedaría:
IMPLÍCITASEjemplo 10Teniendo la función a derivar:Se aplican las formulas usuales a los términos con x:En el caso de y se hace lo mismo solo que esta vez como no sabemos su valor dejamos como y' multiplicando su valor desconocido:Entonces despejamos y':Simplificamos y la derivada quedaría:
1Calcular las derivadas en los puntos que se indica:1 en x = -5.2 en x = 1.3 en x = 2.4 en x = 3.2Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.3¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.4Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:Se pide:1. Verificar que la población es función continua del tiempo.2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.5Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.6Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.7Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:8Dada la función:¿Para qué valores de a es derivable?9Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:10Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:
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