Se tienen los ángulos A y B de 36.87° y de 30.51° formados respectivamente por el remolcador A el cual tira del cable de 55 metros y por el remolcador B que tira del cable de 65 metros con respecto a la distancia de separación de ambos remolcadores en cada caso
Y el ángulo C de 112°.62° el cual es el ángulo conformado por los cables de cada uno de los remolcadores
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno
¿Qué es el Teorema del Coseno?
El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces, se cumplen las relaciones:
[tex]\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}[/tex]
Solución
Representamos la situación en un triángulo ABC en donde los lados BC (a) y AC (b) representan las longitudes de los cables de 65 metros y de 55 metros respectivamente que van a cada uno de los remolcadores desde la barcaza de la cual tiran. Y el lado AB que equivale a la distancia de separación entre ambos remolcadores. Teniendo en los vértices A y B del triángulo ubicados cada uno de los remolcadores, mientras que en el vértice C se encuentra la barcaza.
Hallando el ángulo A (ángulo entre el remolcador que tira del cable de 55 metros y la distancia de separación con el otro remolcador)
Por el teorema del coseno
[tex]\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \ . \ b \ . \ c } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(55 \ m)^{2} + (100 \ m) ^{2} - (65 \ m)^{2} }{2 \ . \ 55 \ m \ . \ 100 \ m } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{3025 \ m^{2} + 10000 \ m^{2} - 4225 \ m^{2} }{11000 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{13025 \ m^{2} - 4225\ m^{2} }{11000 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{8800 \not m^{2} }{11000 \not m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 8800 }{11000 } = \frac{ \not 2200 \ . \ 4 }{\not 2200 \ . \ 5 } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 4 }{5 } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(A )= 0.8 }}[/tex]
Aplicamos la inversa del coseno para hallar el ángulo
[tex]\boxed {\bold {A=arccos(0.8) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {A = 36.869897^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {A = 36.87^o }}[/tex]
Hallando el ángulo B (ángulo entre el remolcador que tira del cable de 65 metros y la distancia de separación con el otro remolcador)
Por el teorema del coseno
[tex]\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} }{2 \ . \ a \ . \ c \ } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{(65 \ m )^{2} + (100 \ m )^{2} - (55 \ m )^{2} }{2 \ . \ 65 \ m \ . \ 100 \ m } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{4225\ m^{2} + 10000\ m^{2} - 3025 \ m^{2} }{13000 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{14225\ m^{2} - 3025\ m^{2} }{13000 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{11200 \not m^{2} }{13000 \not m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 11200 }{13000 } = \frac{ \not 200 \ . \ 56 }{\not 200 \ . \ 65 } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 56 }{65 } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {cos(B )= 0.86153384615384 }}[/tex]
Aplicamos la inversa del coseno para hallar el ángulo
[tex]\boxed {\bold {B=arccos( 0.86153384615384 ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {B = 30.510758^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {B = 30.51^o }}[/tex]
Hallando el ángulo C (ángulo que forman los dos cables de cada uno de los remolcadores)
Como la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°
Como ya conocemos dos de los ángulos del triángulo , vamos a hallar el tercero
Planteando
[tex]\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {180^o= 36.87^o +30.51^o +C }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {C = 180^o- 36.87^o -30.51 ^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {C = 112.62^o }}[/tex]
Se agrega un gráfico que representa a la situación para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas
