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Sagot :
Para resolver estas operaciones se amplia el conjunto de los números introduciendo nuevos números llamadosimaginarios.
Número racional : a/b en orden y siendo b diferente de 0 ,determinan el número fraccionario a/b,del cual el primer número a es el numerador y el segundo número b es el denominador.
Análogamente, un par de números reales a y b, dados en un cierto orden, definen un número complejo que se representa ( a ; b ), del cual el primer número a se llama componente real, y el segundo b,componente imaginaria.
( -1 ; 4 )
La componente real es -1 y la componente imaginaria es 4
Los números imaginarios se representan por la componente imaginaria seguida de la unidad imaginaria i
Adición de números complejos:
Se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los números sumandos.
Suma = ( 2 ; 3 ) + ( 4; 5 ) =[ ( 2 + 4 ) ; ( 3 +5 )] = (6 ; 8 )
Representar en forma binómica
( 2/3 ; 5 ) = ( 2/3 + 5i ) ( 1/3 ; -2 ) = ( 1/3 - 2i)
Complejos conjugados :
Son iguales en valor absoluto tanto reales como imaginarios,pero éstos últimos tienen diferente signo.
Suma (3 + 2i ) + (3 - 2i ) = 3 +3 = 2.3 Su resultado es el DUPLO REAL
Resta ( 3 + 2i ) - ( 3 - 2i ) = 2i+2i = 2.2 = 4i Su resultado es DUPLO IMAGINARIO
Potencia de números complejos
i0 = 1 i4= 1 i8= 1 i1 = i i5= i i9= i i2 = -1 i6 = - 1 i10= -1 i3= - i i7= - i i11 = - i
Multiplicación
Producto de una unidad imaginaria
( 2 + 4i ) .( 1 - 2i ) = Se aplica propiedad distributiva
( 2 . 1 ) + ( 2 . - 2i ) + ( 4i . 1 ) + ( 4i . - 2i ) = 2 4i + 4i + 4i2=
2 + 4 . - 1 =
2 - 4 = -3
Complejos conjugados :
El producto de dos complejos conjugados es igual a la suma de los cuadrados de las dos componentes
( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) = ( 3 )2 - ( 2i )2 =
9 - 4i2 = 9 - 4 . -1 =
9 + 4 = 13
Aplicando propiedad distributiva
( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) =
( 3 . 3 ) + ( 3 . - 2i ) + ( 2i . 3 )+ ( 2i . - 2i ) =
9 - 6i + 6i - - 4i2 =
9 - 4 . - 1=
9 + 4 = 13
Ejemplo de no conjugado
( 3 + 2i ) . ( 4 - 3i ) =
( 3 . 4) + ( 3.- 3i ) + ( 2i . 4 )+ ( 2 i. - 3i ) =
12 - 9i +8i - 6i =
12 -9i + 8i - 6 . (- 1)=
12 - i + 6 =
( 18 - i )
División de números complejos
5 - 2i =
4 + 3i
( 5 - 2i ) . ( 4 - 3i ) =
( 4 + 3i) . ( 4 - 3i )
20 - 8i - 15i + 6i2 =
42 + 32
20 - 8i - 15i - 6 =
16 + 9
14 - 23i =
25
( 14/25 - 23/25i )
Raíces de índice par de números negativos
√-25 no tenía solución en el conjunto de los números reales, pero al considerar los números complejos este problema queda resuelto.
√-25 = + 5 y - 5
+ 5i . + 5i = ( 5i )2 = 25i2 = -25
- 5i . - 5i = ( - 5i )2 = 25i2= - 25
Representación geométrica o gráfica de los números Complejos
A cada complejo le corresponde el punto del plano cuya abscisa es la componente real y su ordenada la componente imaginaria.
1) Al número complejo ( - 3; 2 ) = - 3 + 2i le corresponde el punto A de abscisa - 3 y ordenada 2
2) A todo número imaginario que tiene componente real 0, tiene el punto que le corresponde sobre el eje de las ordenadas:
a) ( 0 ; 3) = 3i le corresponde el punto B
b) ( 0 ; - 2 ) = - 2i le corresponde el punto C
c) (0 ; 1) = 1i le corresponde el punto U
3) Todos los números reales, que son complejos que tienen componente imaginaria 0, están representados por el eje de las x
a) ( 5 ; 0 ) = 5 le corresponde el punto D.
Forma polar trigonométrica
Si se considera el vector que tiene por origen O de coordenadas y por estremo el punto P, es decir ,semirrecta OP, el módulo de este vector se llama módulo del complejo ( a ; b ).
Lo denominamos módulo δ de ( a ; b )
El ángulo que forma dicho vector con el semieje positivo de las x en el sentido contrario a las agujas del reloj, en este caso ω, se llama argumento del número complejo ( a ; b )
Se tiene que:
cos ω = a ⇒ a = δ. cos ω
δ
sen ω = a ⇒ b = δ. sen ω
δ
bi = δ. sen ω i
Sumando miembro a miembro [ 1 ] y [ 2 ]
a + bi = δ. cos ω + δ. sen ω
Sacando factor común:
a + bi = δ.( cos ω + i sen ω )
Ejemplo:
a = √3 y b = 1
+ √4 = + 2
cos ω = √3
2
sen ω = 1
2
⇒ ω = 30º
La forma trigonométrica del número complejo dado:
√3 + i = 2 ( cos 30º + i sen 30º )
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