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Sagot :
El área mínima se obtiene al cortar un trozo de 13,44cm y otro de 10,56cm, formando el cuadrado con el pedazo de 13,44cm y el círculo con el pedazo de 10,56cm. El área máxima se obtiene formando solo el círculo con el alambre completo.
Explicación paso a paso:
Podemos expresar las dos áreas en función de uno de los dos perímetros como por ejemplo el del cuadrado, a ese perímetro lo llamamos p, entonces el perímetro del círculo será 24-p.
El área del cuadrado es:
[tex]A=l^2=(\frac{p}{4})^2[/tex]
Y el área del círculo, sabiendo que la longitud de la circunferencia es (24-p) es:
[tex]c=24-p\\c=2\pi.r\\\\r=\frac{c}{2\pi}=\frac{24-p}{2\pi}\\\\A=\pi.r^2=\pi(\frac{24-p}{2\pi})^2=\frac{(24-p)^2}{4\pi}[/tex]
La suma de las dos áreas es:
[tex]S=\frac{p^2}{16}+\frac{(24-p)^2}{4\pi}[/tex]
Si derivamos la función y la igualamos a cero para hallar uno de los extremos queda:
[tex]S'=\frac{p}{8}+\frac{2(24-p)(-1)}{4\pi}\\\\\frac{p}{8}-\frac{2(24-p)}{4\pi}=0\\\\4\pi.p=16(24-p)\\\\\pi.p=4(24-p)\\\\(\pi+4)p=96\\\\p=\frac{96}{\pi+4}=13,44cm[/tex]
O sea, el alambre tiene que partirse en un pedazo de 13,44cm y otro de 24-13,44=10,56cm. Para ver si esto dará un área combinada mínima o máxima recurrimos a la derivada segunda:
[tex]S'=\frac{p}{8}-\frac{24-p}{2\pi}\\\\S''=\frac{1}{8}-\frac{1}{2\pi}.(-1)=\frac{1}{8}+\frac{1}{2\pi}[/tex]
Como la derivada segunda es positiva, este valor dará un área combinada mínima.
El área máxima posible se calcula suponiendo que con el alambre solo se forma el cuadrado o solo se forma el círculo:
[tex]A=\frac{l^2}{16}=\frac{24^2}{16}=36cm^2\\\\A=\frac{(24cm)^2}{2\pi}=91,67cm^2[/tex]
Al formar solo el círculo tendremos el área máxima posible.
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