Las identidades trigonométricas no se resuelven, se demuestran o comprueban o se refutan. Las ecuaciones (sean trigonométricas o no) sí se resuelven. Resolver una ecuación consiste en determinar el valor de su incógnita, de tal modo que la igualdad se cumpla.
La expresión
cos(x) / ctg(x) = 1
NO es una identidad:
[ cos(x) / 1 ] / [ cos(x) / sen(x) ] = 1
cos(x).sen(x) / [ 1.cos(x) ] = 1
cos(x).sen(x) / cos(x) = 1
sen(x) = 1
lo cual sabemos que no es cierto (excepto para algunos valores particulares de "x", pero en una identidad se debe cumplir para todo valor y no solo para algunos)...
Con respecto a la ecuación, voy a asumir que "sen^x" quiere decir "sen²(x)":
3 + 3cos(x) = 2sen²(x)
Sabemos que sen²(x) + cos²(x) = 1, luego al despejar sen²(x) queda
3 + 3cos(x) = 2[ 1 - cos²(x) ]
3 + 3cos(x) = 2 - 2cos²(x)
2cos²(x) + 3cos(x) + 3 - 2 = 0
2cos²(x) + 3cos(x) + 1 = 0
Si hacemos la sustitución
u = cos(x)
tenemos que la ecuación se convierte en
2u² + 3u + 1 = 0
y es una cuadrática que se resuelve de manera sencilla. Obtenemos que
u₁ = -1
u₂ = -½
y entonces regresamos a "x":
Para u = u₁ resulta
-1 = cos(x)
arccos(-1) = arccos[ cos(x) ]
arccos(-1) = x
Los ángulos cuyo coseno es -1 son los múltiplos impares de 180° (o en radianes, de π), lo cual se expresa de la siguiente manera (se acostumbra por convención a expresar los resultados en radianes):
x = (2k + 1)π, para k € Z . . . . . que se lee "para cualquier 'k' entero"
Para u = u₂ tenemos
-½ = cos(x)
arccos(-½) = x
Los ángulos cuyo coseno es -½ son todos aquellos que corresponden a 120° (2π/3 radianes) y a 240° (4π/3 rad), y todos aquellos que les anteceden o les siguen cada 360° (cada 2π radianes, que es el período del coseno):
x = { 2π/3, 4π/3 } + 2πk, k € Z
Ahora basta con unir las respuestas:
x = (2k + 1)π; { 2π/3, 4π/3 } + 2πk, k € Z
x = 2πk + π; { 2π/3, 4π/3 } + 2πk, k € Z
x = { π, 2π/3, 4π/3 } + 2πk, k € Z
Lo anterior significa que la ecuación dada tiene "3" raíces (en el intervalo de 0 a 2π). Las demás son "repeticiones" de las 3 anteriores cada 2π radianes debidas a la periodicidad del coseno.
Eso es todo.
