Condiciones necesarias y suficientes para determinar un subespacio vectorial:
Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W ⊆ V), se dice que W es un subespacio vectorial de V si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
- El elemento nulo del espacio V está contenido en el subespacio W. (0V ∈ W)
- Si u,v ∈ W, entonces u + v ∈ W
- Si u ∈ W y k es un escalar, entonces ku∈ W
a) Para que H sea un subespacio vectorial ES NECESARIO que incluya el elemento nulo (0,0,0) de R³. Comprobemos si esto ocurre:
x + 3y + z = 1
0 + 3·0 + 0 = 1
0 ≠ 1
Como observamos el vector nulo de R³ no pertenece a H, por lo que H NO ES UN SUBESPACIO VECTORIAL.
b)
✅ Haciendo a = 0 y b = 0 podemos verificar que M contiene al elemento nulo de las matrices cuadradas de orden 2.
✅ Si sumamos dos elementos del subespacio da como resultado otro elemento del subespacio:
[tex]\begin{pmatrix}a&3a\\ 2b&b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c&3c\\ 2d&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c&3(a+c)\\ 2(b+d)&b+d\end{pmatrix}\in M[/tex]
✅ Si hacemos el producto de un escalar por un vector del espacio obtenemos otro vector que pertenece al espacio:
[tex]k\begin{pmatrix}a&3a\\ 2b&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ka& \:3ka\\ 2kb&kb\end{pmatrix}\in M[/tex]
Concluimos entonces que M ES UN SUBESPACIO VECTORIAL.
