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calcular el dominio en forma de intervalo de la funcion f(x)= ln( 3x^3+6x^2-9x)/(-4x^2+4x+24)^1/2

Sagot :

Respuesta:

[tex](-2; 0)[/tex] U [tex](1; 3)[/tex]

Explicación paso a paso:

[tex]f(x)=\frac{ln(3x^3+6x^2-9x)}{(-4x^2+4x+24)^{1/2} }[/tex]

si estamos en los numeros reales entonces:

la funcion logaritmo natural se define sólo para [tex]x > 0[/tex] :

[tex]3x^3+6x^2-9x > 0\\x^3+2x^2-3x>0\\x(x^2+2x-3) > 0\\x(x-1)(x+3)>0\\[/tex]

puntos criticos: -3; 0; 1

  -              -               +             +

------- -3 ---------- 0 ---------- 1 -----------            [tex]x[/tex]

   -             -               -              +

------- -3 ---------- 0 ---------- 1 -----------             [tex]x-1[/tex]

  -              +               +             +

------- -3 ---------- 0 ---------- 1 -----------             [tex]x +3[/tex]

  -             +               -             +

------- -3 ---------- 0 ---------- 1 -----------          [tex]x(x-1)(x+3)[/tex]      

Solamente sirven los intervalos donde la expresión sea positiva,

  [tex]-3<x<0[/tex]   o   [tex]x > 1[/tex]

Ahora con el denominador:

no se puede dividir por 0, ni la raiz puede ser negativa entonces:

[tex]-4x^2+4x+24 > 0\\-x^2+x+6>0\\-(x+2)(x-3)>0\\(x+2)(x-3)<0[/tex]

Puntos criticos -2 y 3

   -                  +               +

-------- -2 -------------- 3 ----------           [tex]x+2[/tex]

    -               -                 +

-------- -2 -------------- 3 ----------           [tex]x-3[/tex]

    +               -                  +

-------- -2 -------------- 3 ----------           [tex](x+2)(x-3)[/tex]

Solamente sirven los intervalos donde la expresión sea negativa, entonces:

[tex]-2 < x < 3[/tex]

los intervalos hallados son:

[tex]-2 < x < 3[/tex]

  [tex]-3<x<0[/tex]   ∨   [tex]x > 1[/tex]

juntandolos es:

[tex]-2 < x < 0[/tex]   ∨    [tex]1<x<3[/tex]

en forma de intervalo:

[tex](-2; 0)[/tex] U [tex](1; 3)[/tex]