Considera la siguiente expresión:
(a + b) • (a - b)²
Te indican que "a>0" y "b>0". Entonces "a + b > 0".
Te indican que "a ≠ b". Entonces "a - b ≠ 0". De donde deducimos: (a - b)² > 0.
En consecuencia podemos afirmar que:
(a + b) • (a - b)² > 0 ❶
por ser el producto de dos factores positivos.
____________________
Desarrollemos ❶:
(a + b) • (a - b)² > 0 ⇒
(a + b) • (a² - 2ab + b²) > 0 ⇒
a³ - 2a²b + ab² + a²b - 2ab² + b³ > 0 ⇒
a³ - a²b - ab² + b³ > 0 ⇒
a³ + b³ > a²b + ab²
Finalmente, dividimos ambos miembros por el número positivo "a² b²":
(a³ + b³) / (a² b²) > (a²b + ab²) / (a² b²) ⇒
(a / b²) + (b / a²) > (1 / b) + (1 / a)
que es lo que se quería demostrar.
____________________
Otra forma de demostrar lo anterior es por el absurdo. Es decir: damos por cierto la relación opuesta a la que se quiere demostrar y buscamos llegar a un absurdo.
Sea cierta la siguiente relación:
(a / b²) + (b / a²) ≤ (1 / a) + (1 / b) ❷
____________________
Como es "a>0" y "b>0" podemos multiplicar ambos miembros por el número positivo: "a² b²". Entonces:
a³ + b³ ≤ a b² + a² b ⇒ [transponemos términos]
a³ - a b² ≤ a² b - b³ ⇒ [tomamos factores comunes]
a (a² - b²) ≤ b (a² - b²) ⇒
a (a² - b²) - b (a² - b²) ≤ 0 ⇒[factor común]
(a - b) (a² - b²) ≤ 0 ⇒ [desarrollamos la dif. de cuadrados]
(a - b) (a - b) (a + b) ≤ 0 ⇒
(a - b)² (a + b) ≤ 0
____________________
Y razonamos (lo hago rápido porque este análisis ya lo hicimos antes):
(a - b)² > 0 (por hipótesis)
a + b > 0 (por hipótesis)
Entonces la desigualdad:
(a - b)² (a + b) ≤ 0
es -definitivamente- ABSURDA ya que el término izquierdo de la desigualdad es un número POSITIVO (ni nulo ni negativo).
Y el absurdo proviene de haber supuesto ❷:
(a / b²) + (b / a²) ≤ (1 / a) + (1 / b)
Luego la desigualdad adecuada debe ser:
(a / b²) + (b / a²) > (1 / a) + (1 / b)
que es lo que se quería demostrar.
____________________
COMENTARIO.
La razón por la que te expuse la demostración por el absurdo (además de ser correcta y útil) es que te muestra -claramente- por qué es erróneo demostrar algo... partiendo de la base que eso que se quiere demostrar YA ES CIERTO ¿se entiende?
____________________
Espero te haya sido de utilidad.
