Federico Villarreal destcó en el campo de las matemáticas y física.
Sus trabajos de investigación lo consagran como el más grande matemático de su época.
Su más grande obra fue el Método para elevar un polinomio a una potencia cualquiera. Fue su primer trabajo matemático y tenía veintitrés años cuando concibió la fórmula que se llamaría más tarde Polinomio de Villarreal, lo publicó recién en 1886 en la Gaceta Científica, y en 1919, más ampliamente en la revista de Ciencias.
son sus estudios sobre los efectos de refracción, sobre el disco de los astros, su clasificación de las curvas de tercer orden, sus estudios sobre los volúmenes de poliedros regulares, su método de integración por traspasos y sus trabajos acerca de la teoría de la flexión de las vigas y la resistencia de las columnas. Todos ellos representan sus más importantes contribuciones al álgebra, la geometría, el cálculo infinitesimal y la resistencia de materiales. En el campo de la geografía matemática se han hecho clásicos sus trabajos acerca de la determinación de meridianos y de coordenadas y altitudes, así como en la astronomía, sus esfuerzos por difundir en el Perú las hipótesis de Wronski.
Introdujo la monografía o técnica para la construcción de tablas gráficas, la estática gráfica, la teoría de los errores, la geografía matemática, la teoría de la relatividad.
Durante muchos años preparó calendarios astronómicos, publicó el almanaque en el diario El Comercio de Lima. Gran parte de los sucesos o acontecimientos científicos nacionales o extranjeros fueron precedidos o seguidos de su comentario oportuno e ilustrativo para informar e interesar al gran público lector en temas de dominio de los especialistas. Fue uno de los primeros que divulgó en el Perú el método decimal de clasificación bibliográfica propuesto por Dewey y adoptado, posteriormente, por la Asociación Mundial de Bibliotecarios.
